Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z = 11

Et plan $α$ tangerer kuleflaten i punktet $P (6, - 4, 3)$ .

Den rette linja gjennom $P$ og $S$ skjærer kuleflaten i et annet punkt $Q$ .

Et plan $β$ , som er parallelt med $α$ , skjærer kuleflaten langs en sirkel. Avstanden fra $β$ til $Q$ er 3.

Vis at punktet $S (2, - 1, 3)$ er sentrum til kuleflaten. Bestem radiusen til kuleflaten.

Bestem en likning for $α$ .

Bestem koordinatene til $Q$ .

Bestem radiusen til skjæringssirkelen mellom $β$ og kuleflaten.

Fasit

$S (2, - 1,3), r = 5$

$α : 4 x - 3 y - 36 = 0$

$Q (- 2, 2, 3)$

$ρ = \sqrt{21}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi fullfører kvadratene i likningen

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z = 11

(x^{2} - 4 x) + (y^{2} + 2 y) + (z^{2} - 6 z) = 11

{(x - 2)}^{2} - 4 + {(y + 1)}^{2} - 1 + {(z - 3)}^{2} - 9 = 11

{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 11 + 4 + 1 + 9 = 25

Dette er en kuleflate med sentrum $S (2, - 1,3)$ og radius

r = \sqrt{25} = 5

Siden $α$ tangerer kuleflaten i $P$ , er $\vec{S P}$ normalvektor til $α$ :

\vec{S P} = P - S = (6 - 2, - 4 - (- 1), 3 - 3) = (4, - 3, 0)

Likningen for planet gjennom $P (6, - 4,3)$ med normalvektor $(4, - 3,0)$ :

4 (x - 6) - 3 (y + 4) + 0 (z - 3) = 0

4 x - 24 - 3 y - 12 = 0

4 x - 3 y - 36 = 0

Linja gjennom $P$ og $S$ har retningsvektor $\vec{S P} = (4, - 3,0)$ , som har lengde $| \vec{S P} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ . Siden $P$ ligger på kuleflaten i avstand $r = 5$ fra $S$ , tilsvarer $t = 1$ i parametriseringen

(x, y, z) = S + t \cdot \vec{S P} = (2 + 4 t, - 1 - 3 t, 3)

nettopp punktet $P$ . Det andre skjæringspunktet $Q$ ligger like langt fra $S$ på motsatt side, altså ved $t = - 1$ :

Q = (2 - 4, - 1 + 3, 3) = (- 2, 2, 3)

Q (- 2,2,3)

Punktene $P$ og $Q$ er endepunktene til en diameter gjennom kuleflaten (siden begge ligger på linja gjennom sentrum $S$ , i avstand $r = 5$ fra $S$ ). Denne diameteren står normalt på $α$ , og dermed også normalt på $β$ (som er parallelt med $α$ ).

Siden $β$ skal skjære kuleflaten i en sirkel, må avstanden fra $S$ til $β$ være mindre enn $r = 5$ . Med avstand $3$ fra $Q$ til $β$ , målt langs diameteren, er avstanden fra $S$ til $β$

d = r - 3 = 5 - 3 = 2

(Alternativet $d = 5 + 3 = 8$ er større enn $r$ og gir ikke skjæring, og forkastes derfor.)

Snittsirkelen mellom kuleflaten og $β$ har radius $ρ$ gitt ved Pytagoras i trekanten med hypotenus $r$ og katet $d$ :

ρ = \sqrt{r^{2} - d^{2}} = \sqrt{5^{2} - 2^{2}} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}

ρ = \sqrt{21} \approx 4,58

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer

Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Lov på eksamen

Temaer