Retningsvektoren til linja $\ell$ er

som vi forkorter til $(3,0,4)$. En parameterframstilling for $\ell$ er dermed

Kuleflaten $K$ har likning ${(x+1)}^2+{(y-3)}^2+{(z-4)}^2=r^2$. Med $r=5$ setter vi inn punktene på linja:

CAS bekrefter dette (linje 6 i utklippet):

Setter vi inn i parameterframstillingen for $\ell$, får vi de to skjæringspunktene (linje 5 og 6 i det andre utklippet):

Svar: $\underline{\underline{P_1(\frac{7}{5},0,\frac{36}{5}),P_2(-\frac{17}{5},0,\frac{4}{5})}}$

Linja $\ell$ og kuleflaten $K$ har skjæringspunkt for de $r$ som gjør at likningen fra a) har en løsning $t$. Med generell $r$ blir likningen

så avstanden fra sentrum $S$ til et punkt på linja er $r(t)=\sqrt{25{(t-1)}^2+9}$. Den minste verdien av $r$ som gir skjæringspunkt, er minimumsverdien av denne funksjonen — altså korteste avstand fra $S$ til linja $\ell$.

Vi deriverer og løser $r^{\prime }(t)=0$ i CAS:

CAS gir $t_{\min }=1$ og $r_{\min }=g(1)=3$.

Svar: $\underline{\underline{r_{\min }=3}}$

Planet $\alpha$ går gjennom $C(0,1,0)$, $P_1(\frac{7}{5},0,\frac{36}{5})$ og $P_2(-\frac{17}{5},0,\frac{4}{5})$. Vi finner to vektorer i planet:

Normalvektoren $\overrightarrow{n}$ er kryssproduktet:

som vi forkorter til $\overrightarrow{n}=(4,-16,-3)$ (skalert med $\frac{5}{8}$).

Likningen for planet gjennom $C(\mathrm{0,1,0})$ med normalvektor $\overrightarrow{n}=(4,-16,-3)$ er

Svar: $\underline{\underline{4x-16y-3z+16=0}}$

For en generell radius $r\ge 5$ er skjæringspunktene på formen $t=1\pm s$, der $s={\displaystyle \frac{\sqrt{r^2-9}}{5}}$ (fra likningen $25{(t-1)}^2=r^2-9$ i b). Dette gir

Vektorene fra $C(\mathrm{0,1,0})$ til disse punktene blir

Kryssproduktet gir normalvektoren

Normalvektoren er altså for alle $r\ge 5$ (der $s\ne 0$) parallell med $(4,-16,-3)$ — retningen avhenger ikke av $r$, kun lengden gjør det (styrt av faktoren $2s$). Siden planet $\alpha$ dessuten alltid går gjennom det faste punktet $C(\mathrm{0,1,0})$, er planet fullstendig bestemt av et fast punkt og en fast normalretning uansett hvilken $r\ge 5$ vi velger. Derfor er likningen for $\alpha$ uavhengig av $r$, og den stemmer overens med svaret i c).