Kule tangerer plan med parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (3, 1, 0)$ , $B (3, 2, 4)$ og $C (- 1, 1, 4)$ .

Vis at punktene ligger i planet $α$ gitt ved

α : x - 4 y + z + 1 = 0

En linje $ℓ$ står normalt på $α$ og går gjennom $A$ .

Bestem en parameterframstilling for $ℓ$ .

En kuleflate tangerer $α$ i $A$ .

Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen

{(x - 3 - t)}^{2} + {(y - 1 + 4 t)}^{2} + {(z - t)}^{2} = 18 t^{2}, for en t \in ℝ

Punktet $P (4, 1, 1)$ ligger på kuleflaten.

Bestem sentrum til kuleflaten.

Fasit

Alle punktene tilfredsstiller planlikningen — se løsningsforslag

$ℓ : (x, y, z) = (3,1,0) + t (1, - 4,1)$

Se løsningsforslag

$Sentrum = (\frac{7}{2}, - 1, \frac{1}{2})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter koordinatene til $A$ , $B$ og $C$ inn i likningen for $α$ : $x - 4 y + z + 1 = 0$ .

For $A (3,1,0)$ : $3 - 4 \cdot 1 + 0 + 1 = 0$ ✓

For $B (3,2,4)$ : $3 - 4 \cdot 2 + 4 + 1 = 0$ ✓

For $C (- 1,1,4)$ : $- 1 - 4 \cdot 1 + 4 + 1 = 0$ ✓

Alle tre punktene tilfredsstiller likningen, så $A$ , $B$ og $C$ ligger i $α$ .

Siden $ℓ$ står normalt på $α$ , er retningsvektoren til $ℓ$ lik normalvektoren til $α$ , som vi leser av koeffisientene i planlikningen: $\vec{n} = (1, - 4, 1)$ . Linjen går gjennom $A (3,1,0)$ , så en parameterframstilling er

ℓ : (x, y, z) = (3, 1, 0) + t \cdot (1, - 4, 1), t \in ℝ

Siden kuleflaten tangerer $α$ i $A$ , må sentrum $S$ i kuleflaten ligge på normallinjen $ℓ$ gjennom tangeringspunktet $A$ . Derfor kan sentrum skrives på formen

S = (3 + t, 1 - 4 t, t)

for en verdi av $t \in ℝ$ . Radien til kuleflaten er avstanden fra $S$ til tangeringspunktet $A$ :

r = | S A | = | t | \cdot | \vec{n} | = | t | \cdot \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + 1^{2}} = | t | \sqrt{18}

som gir $r^{2} = 18 t^{2}$ . Kuleflaten med sentrum $S$ og radius $r$ er dermed gitt ved

{(x - (3 + t))}^{2} + {(y - (1 - 4 t))}^{2} + {(z - t)}^{2} = 18 t^{2}

det vil si

{(x - 3 - t)}^{2} + {(y - 1 + 4 t)}^{2} + {(z - t)}^{2} = 18 t^{2}

Vi setter $P (4,1,1)$ inn i kuleflatens likning fra c).

{(4 - 3 - t)}^{2} + {(1 - 1 + 4 t)}^{2} + {(1 - t)}^{2} = 18 t^{2}

{(1 - t)}^{2} + {(4 t)}^{2} + {(1 - t)}^{2} = 18 t^{2}

2 {(1 - t)}^{2} + 16 t^{2} = 18 t^{2}

2 {(1 - t)}^{2} = 2 t^{2}

{(1 - t)}^{2} = t^{2}

Vi løser opp parentesen: $1 - 2 t + t^{2} = t^{2}$ , som gir $1 - 2 t = 0$ , altså $t = \frac{1}{2}$ .

Sentrum blir da

S = (3 + \frac{1}{2}, 1 - 4 \cdot \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{7}{2}, - 1, \frac{1}{2})

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Parameterframstilling, Vektorer

Kule tangerer plan med parameterframstilling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kule tangerer plan med parameterframstilling

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kule tangerer plan med parameterframstilling

Kule tangerer plan med parameterframstilling

Lov på eksamen

Temaer