Kule senket i kjegleformet glass

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et glass er formet som en kjegle med høyde $10 c m$ . Høyden i kjeglen danner en vinkel på $35 °$ med sideflaten i kjeglen. Glasset er fullt med vann. En kule med radius $R$ blir senket sakte ned i glasset. Se figuren til høyre.

Kjegleformet glass med kule

Kalkulator

Bestem hvor mye vann som vil renne over dersom $R = 7 c m$ .

Kalkulator

Bestem $R$ slik at mest mulig vann renner ut av glasset.

Fasit

$V \approx 390,3 {cm}^{3}$

$R \approx 6,26 cm$ (gir maksimalt utløp $V_{\max} \approx 402,1 {cm}^{3}$ )

LøsningsforslagKI-generert

Oppsett. Kjegleglasset har høyde $10 cm$ , og aksen danner en vinkel $α = 35 °$ med sideflaten (halv toppvinkel). Toppradiusen i glasset er da

r_{topp} = 10 \tan 35 ° \approx 7,00 cm .

Når en kule med radius $R$ senkes forsiktig ned langs aksen, vil den til slutt hvile mot kjegleveggen — den tangerer sideflaten. Sentrum $M$ i kula ligger da på aksen, i en høyde $d$ over kjeglespissen. Avstanden fra sentrum til sideflaten (langs normalen) er nettopp $R$ , og av trekantgeometrien i tverrsnittet får vi

\sin α = \frac{R}{d} \Rightarrow d = \frac{R}{\sin 35 °} .

Bunnen av kula ligger dermed i høyde $d - R$ over spissen. Vannet som renner over kanten, er volumet av den delen av kula som stikker under glassets rand, altså under høyde $10$ — dette er en kulekalott med høyde

h = 10 - (d - R) .

Volumet av en kulekalott med høyde $h$ på en kule med radius $R$ er

V = \frac{π h^{2} (3 R - h)}{3} .

Med $R = 7$ :

d = \frac{7}{\sin 35 °} \approx 12,204 cm .

Bunnen av kula ligger da i høyde $d - R \approx 5,204 cm$ , mens toppen av kula ( $d + R \approx 19,20 cm$ ) stikker godt over glasskanten. Bare den nedre delen av kula er altså nede i glasset, som en kulekalott med høyde

h = 10 - 5,204 = 4,796 cm .

Volumet av vannet som renner over blir da

V = \frac{π \cdot {4,796}^{2} \cdot (3 \cdot 7 - 4,796)}{3} = \frac{π \cdot {4,796}^{2} \cdot 16,204}{3} \approx 390,3 {cm}^{3} .

Svar: $V \approx 390,3 {cm}^{3}$ .

Vi setter opp volumet som en funksjon av $R$ . Kalotthøyden er

h (R) = 10 - (\frac{R}{\sin 35 °} - R) = 10 - R (\frac{1}{\sin 35 °} - 1) \approx 10 - 0,7434 R,

og volumet av vannet som renner ut blir

V (R) = \frac{π h (R)^{2} (3 R - h (R))}{3} .

For å finne $R$ som maksimerer $V (R)$ , deriverer vi og løser $V^{'} (R) = 0$ i CAS. Se linje 1–5 i utklippet: linje 2 gir volumfunksjonen, linje 3 svaret på a), og linje 4 løser $V^{'} (R) = 0$ .

CAS-utregning av volumfunksjonen og maksimum

CAS gir to løsninger, $R \approx 6,26$ og $R \approx 13,45$ . Den siste er ikke fysisk mulig — en kule med radius $13,45 cm$ er så stor at den ikke kommer ned i glasset i det hele tatt. Vi står igjen med

V^{'} (R) = 0 \Rightarrow R \approx 6,26 cm, V_{\max} \approx 402,1 {cm}^{3} .

Kontroll: Kjeglens totale volum er

V_{kjegle} = \frac{π r_{topp}^{2} \cdot 10}{3} \approx \frac{π \cdot {7,00}^{2} \cdot 10}{3} \approx 513,4 {cm}^{3},

så et maksimalt utløp på $402,1 {cm}^{3}$ er rimelig — det er mindre enn hele glassets volum.

Svar: $R \approx 6,26 cm$ gir mest mulig vann ut av glasset, med $V_{\max} \approx 402,1 {cm}^{3}$ .

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

b) Vi kan derivere $V (R)$ for hånd i stedet for å bruke CAS. Skriv $c = \frac{1}{\sin 35 °} - 1 \approx 0,7434$ , slik at kalotthøyden er $h (R) = 10 - c R$ med $h^{'} (R) = - c$ . Volumfunksjonen er

V (R) = \frac{π}{3} (3 R h^{2} - h^{3})

Vi deriverer med produkt- og kjerneregelen ( $h = h (R)$ , $h^{'} = - c$ ):

V^{'} (R) = \frac{π}{3} (3 h^{2} + 6 R h h^{'} - 3 h^{2} h^{'}) = π h (h - 2 c R + c h) = π h [h (1 + c) - 2 c R]

Vi setter $V^{'} (R) = 0$ . Faktoren $h = 0$ gir en unfysisk løsning (kula stikker ikke ned i glasset i det hele tatt), så vi løser i stedet den lineære likningen

h (1 + c) - 2 c R = 0

Setter vi inn $h = 10 - c R$ og løser for $R$ :

(10 - c R) (1 + c) = 2 c R \Rightarrow 10 (1 + c) = c R (2 + 1 + c) = c R (3 + c)

R = \frac{10 (1 + c)}{c (3 + c)} = \frac{10 \cdot 1,7434}{0,7434 \cdot 3,7434} \approx 6,26

Setter vi $R \approx 6,26$ tilbake i uttrykkene for $h (R)$ og $V (R)$ , får vi samme maksimalverdi som med CAS:

R \approx 6,26 cm, V_{\max} \approx 402,1 {cm}^{3}

(Den andre nullpunktet til $V^{'}$ , $h = 0$ , gir $R = 10 / c \approx 13,45$ — samme urealistiske løsning som CAS fant.)

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2023, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Volum, Derivasjon, Optimering, Funksjonsdrøfting

Kule senket i kjegleformet glass

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kule senket i kjegleformet glass

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kule senket i kjegleformet glass

Kule senket i kjegleformet glass

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer