Kostnad inntekt og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter per dag er gitt ved

K (x) = 0,4 x^{2} + 400 x + 30000, x \in ⟨ 0, 400]

Inntekten $I$ i kroner ved salg av $x$ enheter per dag er gitt ved

I (x) = - 0,6 x^{2} + 800 x, x \in ⟨ 0, 400]

Bestem $K^{'} (200)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Overskuddet $O$ i kroner er gitt ved

O (x) = I (x) - K (x)

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for å få størst overskudd? Hvor stort blir dette overskuddet?

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli positivt?

Fasit

$K^{'} (200) = 560 kr$

$200 enheter, O (200) = 10000 kr$

$100 < x < 300$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer kostnadsfunksjonen $K (x) = 0,4 x^{2} + 400 x + 30000$ :

K^{'} (x) = 0,8 x + 400

Vi setter inn $x = 200$ :

K^{'} (200) = 0,8 \cdot 200 + 400 = 160 + 400 = 560

K^{'} (200) = 560 kr

Tolkning: Når produksjonen er $200$ enheter per dag, øker kostnaden med omtrent $560 kr$ dersom produksjonen økes med én enhet, fra $200$ til $201$ enheter.

Vi setter opp overskuddsfunksjonen ved å trekke kostnaden fra inntekten:

O (x) = I (x) - K (x) = (- 0,6 x^{2} + 800 x) - (0,4 x^{2} + 400 x + 30000)

O (x) = - x^{2} + 400 x - 30000

For å finne maksimalt overskudd deriverer vi og setter den deriverte lik null:

O^{'} (x) = - 2 x + 400

- 2 x + 400 = 0

x = 200

Siden $O^{'} (x)$ går fra positiv til negativ ved $x = 200$ (og andregradsuttrykket har negativ ledende koeffisient), er dette et toppunkt, altså et maksimum.

Vi setter $x = 200$ inn i $O (x)$ :

O (200) = - 200^{2} + 400 \cdot 200 - 30000 = - 40000 + 80000 - 30000 = 10000

Bedriften må produsere og selge 200 enheter per dag, og får da et overskudd på 10000 kr

Vi skal finne når $O (x) > 0$ :

- x^{2} + 400 x - 30000 > 0

Vi multipliserer med $- 1$ (og snur ulikhetstegnet):

x^{2} - 400 x + 30000 < 0

Vi finner først nullpunktene til $x^{2} - 400 x + 30000 = 0$ med abc-formelen:

x = \frac{400 \pm \sqrt{400^{2} - 4 \cdot 30000}}{2} = \frac{400 \pm \sqrt{160000 - 120000}}{2} = \frac{400 \pm \sqrt{40000}}{2} = \frac{400 \pm 200}{2}

x = 100 eller x = 300

Siden andregradsuttrykket $x^{2} - 400 x + 30000$ har positiv ledende koeffisient, er uttrykket negativt mellom nullpunktene.

100 < x < 300

Tolkning: Bedriften får positivt overskudd når den produserer og selger mellom $100$ og $300$ enheter per dag.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2020, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Optimering, Økonomi

Kostnad inntekt og overskudd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kostnad inntekt og overskudd

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kostnad inntekt og overskudd

Kostnad inntekt og overskudd

Lov på eksamen

Temaer