Rekken er en uendelig geometrisk rekke med $a_1=1$ og kvotient

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$. Vi løser derfor ulikheten

Konvergensområdet er $⟨4,8⟩$, se linje 1 i CAS-utklippet.

Svar: $\underline{\underline{⟨4,8⟩}}$

Vi skal konstruere en uendelig geometrisk rekke med en kvotient $k(x)$ som er lineær i $x$, slik at konvergensbetingelsen $|k(x)|<1$ gir nettopp intervallet $⟨-3,5⟩$.

Vi setter

der $m$ er midtpunktet og $c$ er halve bredden av intervallet. Siden intervallet $⟨-3,5⟩$ har midtpunkt

og halv bredde

velger vi $k(x)={\displaystyle \frac{x-1}{4}}$. Da er $|k(x)|<1\iff -3<x<5$, som gir riktig konvergensområde.

Rekken skal ha $a_1\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-k}}=3$ når $x=4$. Vi finner først $k(4)$:

Siden $|3/4|<1$ konvergerer rekken for $x=4$, som den skal. Vi setter opp likningen for summen og løser for $a_1=a$:

Se linje 2 i CAS-utklippet over, som bekrefter $4a=3$.

Den geometriske rekken

har dermed konvergensområde $⟨-3,5⟩$ og summen $3$ når $x=4$.

Svar: $\underline{\underline{a_1={\displaystyle \frac{3}{4}},k(x)={\displaystyle \frac{x-1}{4}}}}$

(Merk: dette er kun ett av uendelig mange gyldige svar — enhver rekke med lineær kvotient $k(x)={\displaystyle \frac{x-1}{4}}$ og passende $a_1$ vil oppfylle kravene.)