Hjelpefigur

Vi skisserer først hvordan det ferdige trapeset skal se ut, før vi konstruerer det nøyaktig med passer og linjal.

$△ABC$ er en rettvinklet trekant med $AB=\mathrm{8,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\angle B=90°$ og $\angle A=30°$. Trapeset $ABCD$ lages ved å legge til en vinkel $\angle CAD=45°$ fra $A$, videre ut fra $\angle BAC$, slik at $D$ ligger på linjen gjennom $C$ som er parallell med $AB$.

I det ferdige trapeset er da:

• $\angle DAB=\angle BAC+\angle CAD=30°+45°=75°$
• $\angle ABC=90°$
• $\angle BCD=90°$, fordi $CD\parallel AB$ og $BC⟂AB$, så må $BC⟂CD$ også
• $\angle ADC=360°-75°-90°-90°=105°$ (vinkelsummen i en firkant er $360°$)

Trapeset er altså et rettvinklet trapes: $AB$ er den lengste av de to parallelle sidene, $DC$ er den korteste, og $BC$ står vinkelrett på begge.

Konstruksjonsforklaring

Steg 1 — Tegn $AB$

Tegn linjestykket $AB=\mathrm{8,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ med linjal.

Steg 2 — Konstruer $90°$ i $B$

Sett passerspissen i $B$ og tegn en bue som skjærer linjen $AB$ i to punkter, ett på hver side av $B$. Sett deretter passerspissen i hvert av disse to skjæringspunktene (med samme, litt større radius enn før) og tegn to nye buer som skjærer hverandre. Linjen gjennom $B$ og dette skjæringspunktet står vinkelrett på $AB$ — dette er $90°$-vinkelen i $B$.

Steg 3 — Konstruer $30°$ i $A$

Vi konstruerer først $60°$, og halverer den:

• Sett passerspissen i $A$ og tegn en bue med en valgfri radius som skjærer $AB$. Kall skjæringspunktet $S$.
• Behold samme radius, sett passerspissen i $S$, og tegn en ny bue som skjærer den første. Kall skjæringspunktet $T$.
• Linjen fra $A$ gjennom $T$ danner en vinkel på $60°$ med $AB$, fordi $△AST$ er likesidet (alle sidene har samme lengde som passerradiusen).
• For å halvere denne $60°$-vinkelen: sett passerspissen først i $S$, så i $T$ (samme radius begge ganger), og tegn to buer som skjærer hverandre inni vinkelen. Linjen fra $A$ gjennom dette skjæringspunktet halverer vinkelen og gir $30°$.

Steg 4 — Finn $C$

Punktet $C$ er der $30°$-linjen fra $A$ skjærer $90°$-linjen fra $B$. Tegn $AC$ og $BC$. Nå er $△ABC$ ferdig konstruert.

Steg 5 — Konstruer $45°$ videre fra $A$

Vinkelen $\angle CAD=45°$ skal ligge på utsiden av $\angle BAC$, altså lenger bort fra $AB$ enn $AC$. Vi konstruerer først en $90°$-vinkel fra linjen $AC$ (samme metode som i steg 2, men nå med $AC$ i stedet for $AB$), og halverer så denne $90°$-vinkelen (samme halveringsmetode som i steg 3) for å få $45°$. Dette gir stråla $AD$.

Steg 6 — Konstruer linjen gjennom $C$ parallell med $AB$

Siden $BC⟂AB$, vil en linje gjennom $C$ som står vinkelrett på $BC$ automatisk bli parallell med $AB$. Konstruer denne $90°$-vinkelen i $C$ med samme metode som i steg 2, men nå med utgangspunkt i linjen $BC$.

Steg 7 — Finn $D$

Punktet $D$ er der stråla fra steg 5 ($45°$-linjen fra $A$) skjærer linjen fra steg 6 (den parallelle linjen gjennom $C$). Tegn $AD$ og $CD$.

Trapeset $ABCD$ er nå ferdig konstruert.