Vi trenger å konstruere fire vinkler med passer og linjal: $45°$, $60°$, $30°$ og $75°$. Alle fire kan lages ved å halvere en rett vinkel, lage en likesidet trekant, eller legge sammen vinkler vi allerede har konstruert.

Konstruksjon av $60°$ (likesidet trekant)

En likesidet trekant har alle vinkler like store, og siden vinkelsummen i en trekant er $180°$, er hver vinkel $60°$. Vi konstruerer en $60°$-vinkel slik:

1. Sett passerspissen i toppunktet der vinkelen skal være (for eksempel $B$), og tegn en bue som skjærer den ene siden av vinkelen (linja $AB$).
2. La passeren stå i samme åpning. Sett spissen der buen skjærer $AB$, og tegn en ny bue som skjærer den første buen.
3. Trekk en linje fra $B$ gjennom skjæringspunktet mellom de to buene. Denne linja danner en vinkel på $60°$ med $AB$.

Konstruksjon av $45°$ (halvering av $90°$)

1. Konstruer først en rett vinkel ($90°$) i punktet, for eksempel ved å reise en normal på linja med passer og linjal.
2. Halver den rette vinkelen: sett passerspissen i toppunktet og tegn en bue som skjærer begge vinkelbeina. Sett så passerspissen i hvert av de to skjæringspunktene (med samme åpning, større enn halve avstanden mellom dem) og tegn to buer som skjærer hverandre.
3. Linja fra toppunktet gjennom dette skjæringspunktet halverer den rette vinkelen, og gir to vinkler på $45°$.

Konstruksjon av $30°$ (halvering av $60°$)

$30°$ er halvparten av $60°$. Vi konstruerer først $60°$ som over, og halverer deretter denne vinkelen på samme måte som vi halverte $90°$-vinkelen (bue fra toppunktet, to nye buer fra skjæringspunktene, og linje gjennom det nye skjæringspunktet).

Konstruksjon av $75°$ (sum av $45°$ og $30°$)

$75°=45°+30°$. Vi konstruerer først en $45°$-vinkel fra den ene siden, og legger deretter til en $30°$-vinkel inntil den første, slik at de to vinklene til sammen danner $75°$ fra utgangslinja.

Konstruksjonsforklaring for $△ABC$

1. Tegn linjestykket $AB=\mathrm{9,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ med linjal.
2. Konstruer en vinkel på $45°$ i $A$ (halvering av $90°$, som forklart over).
3. Konstruer en vinkel på $60°$ i $B$ (likesidet trekant, som forklart over).
4. Der de to vinkelbeina fra $A$ og $B$ skjærer hverandre, får vi punktet $C$.

Siden vinkelsummen i en trekant er $180°$, blir $\angle ACB=180°-45°-60°=75°$.

Konstruksjonsforklaring for resten av firkanten $ABCD$

5. Fra $A$ konstruerer vi en vinkel på $30°$ ut fra linja $AC$, på motsatt side av $AC$ som $B$. Dette gir vinkelbeinet $AD$.
6. Fra $C$ konstruerer vi en vinkel på $75°$ ut fra linja $CA$, på samme side som det nye vinkelbeinet fra $A$ (motsatt side av $AC$ som $B$). Dette gir vinkelbeinet $CD$.
7. Der de to nye vinkelbeina fra $A$ og $C$ skjærer hverandre, får vi punktet $D$.
8. Trekk til slutt linjestykket $CD$ og $AD$. Da er firkanten $ABCD$ ferdig konstruert.

Hjelpefigur

Diagonalen $AC$ (stiplet i figuren) er hjelpelinja vi bruker til å konstruere trekant $ACD$ på $△ABC$.

Merk at $\angle ACD=\angle ADC=75°$ i trekant $ACD$ (siden $\angle CAD=30°$ og vinkelsummen er $180°$). To like vinkler betyr at $△ACD$ er likebeint med $AD=AC$, noe som kan brukes som en kontroll av konstruksjonen: $D$ skal ligge like langt fra $A$ som $C$ gjør.