Klossmønster i tre figurer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

For hånd

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Kalkulator

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Oppsett for hånd

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

$55 klosser$

$1210 klosser$

Roar kan lage $17 figurer$ og har $1279 klosser$ igjen.

LøsningsforslagKI-generert

Hver figur er en pyramide der lagene ovenfra og ned er $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , $3 \times 3$ , … Figur $n$ består altså av lagene $1^{2}, 2^{2}, \dots, n^{2}$ klosser:

Figurnummer $n$	1	2	3
Antall klosser	$1$	$1 + 4 = 5$	$1 + 4 + 9 = 14$

Antall klosser i figur $n$ er summen av de $n$ første kvadrattallene:

f (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Figur 5 har

f (5) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 𝟓𝟓 klosser

Vi trenger summen av antall klosser i de 10 første figurene. La $g (n)$ være denne summen:

g (n) = \sum_{m = 1}^{n} f (m) = \sum_{m = 1}^{n} \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}

Vi bruker GeoGebra CAS til å sette opp $f (n)$ og $g (n)$ og regne ut:

GeoGebra CAS – klossmønster: figur 5, sum av 10 første, og kumulativ sum

CAS gir $g (10) = 𝟏𝟐𝟏𝟎 klosser$ (se linje 4 i utklippet).

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Her trengs ikke CAS. Vi regner ut $f (m) = \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}$ for hver av de ti figurene på kalkulatoren og legger sammen:

Figur $m$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$f (m)$	1	5	14	30	55	91	140	204	285	385

g (10) = 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + 91 + 140 + 204 + 285 + 385 = 1210

Legg merke til at hver ny figur bare legger til ett kvadrattall mer enn den forrige, så tabellen kan fylles ut raskt: $f (m + 1) = f (m) + {(m + 1)}^{2}$ .

Roar lager én figur i hver størrelse, fra den minste og oppover. Han kan lage figurene så lenge den totale klossmengden $g (n)$ ikke overstiger $10 000$ . Fra CAS-utklippet (linje 5 og 6):

g (17) = 8 721 \leq 10 000 g (18) = 10 830 > 10 000

Roar kan altså lage $17 figurer$ . Antall klosser igjen er

10 000 - 8 721 = 𝟏𝟐𝟕𝟗 klosser

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2022, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Mønstre, Figurtall, Rekker, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Klossmønster i tre figurer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Klossmønster i tre figurer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Klossmønster i tre figurer

Klossmønster i tre figurer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer