Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = \cos x

g (x) = 1 - k^{2} \cdot x^{2}, k > 0

Skisser av grafene til f og g med arealene A₁ og A₂

Skisser av grafene til $f$ og $g$ er tegnet ovenfor.

For hånd

Bestem nullpunktene til $g$ uttrykt ved $k$ .

Kalkulator

Bestem $k$ slik at arealene $A_{1}$ og $A_{2}$ på figurene ovenfor er like store.

For hånd

Bruk formelen $\cos (u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$ til å vise at

\begin{matrix} \cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) & (*) \end{matrix}

Når vi dreier flatestykket med arealet $A_{1}$ 360° om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V_{1}$ .

Kalkulator

Bruk formelen $(*)$ i oppgave c) til å bestemme et eksakt uttrykk for $V_{1}$ ved regning.

Fasit

$x = - \frac{1}{k} og x = \frac{1}{k}$

$k = \frac{2}{3}$

Vist i løsningsforslaget.

$V_{1} = \frac{π^{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Beregningene er utført i GeoGebra CAS, se skjermbildet under.

CAS-utregning av nullpunkter, arealer og volum

Nullpunktene til $g$ finner vi ved å løse $g (x) = 0$ :

1 - k^{2} x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{k^{2}} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{k}

siden $k > 0$ . Dette stemmer med linje 1 i CAS-utklippet.

Svar: $x = - \frac{1}{k} og x = \frac{1}{k}$

Av figuren ser vi at $A_{1}$ er hele arealet mellom $f (x) = \cos x$ og $x$ -aksen mellom de to nullpunktene $x = - \frac{π}{2}$ og $x = \frac{π}{2}$ , mens $A_{2}$ er hele arealet mellom $g$ og $x$ -aksen mellom nullpunktene $x = - \frac{1}{k}$ og $x = \frac{1}{k}$ . Begge flatestykkene er symmetriske om $y$ -aksen.

A_{1} = \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos x d x = {[\sin x]}_{- π / 2}^{π / 2} = 1 - (- 1) = 2

Dette stemmer med linje 2 i CAS-utklippet.

A_{2} = \int_{- 1 / k}^{1 / k} (1 - k^{2} x^{2}) d x = {[x - \frac{k^{2} x^{3}}{3}]}_{- 1 / k}^{1 / k} = 2 (\frac{1}{k} - \frac{1}{3 k}) = \frac{4}{3 k}

Dette stemmer med linje 3 i CAS-utklippet.

Vi setter $A_{1} = A_{2}$ og løser med hensyn på $k$ :

2 = \frac{4}{3 k} \Rightarrow 6 k = 4 \Rightarrow k = \frac{2}{3}

Svar: $k = \frac{2}{3}$

Vi bruker $\cos (u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$ med $u = v = x$ :

\cos (2 x) = \cos (x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Siden $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ , får vi

\cos (2 x) = \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) = 2 \cos^{2} x - 1

Vi løser for $\cos^{2} x$ :

2 \cos^{2} x = 1 + \cos (2 x) \Rightarrow \cos^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)

som er det vi skulle vise.

Volumet av omdreiningslegemet når $A_{1}$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen, er gitt ved

V_{1} = π \int_{- π / 2}^{π / 2} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos^{2} x d x

Vi bruker identiteten fra c):

V_{1} = π \int_{- π / 2}^{π / 2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) d x = π {[\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}]}_{- π / 2}^{π / 2}

V_{1} = π ((\frac{π}{4} + \frac{\sin π}{4}) - (- \frac{π}{4} - \frac{\sin π}{4})) = π \cdot \frac{π}{2} = \frac{π^{2}}{2}

Dette stemmer med linje 5 i CAS-utklippet.

Svar: $V_{1} = \frac{π^{2}}{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2013, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Integrasjon, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis, Bestemt integral

Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer