Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å vise at

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}

der $n \in ℕ$ .

Fasit

Bevist ved induksjon, se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise ved induksjon at påstanden

P (n) : 1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}

er sann for alle $n \in ℕ$ .

Basissteg ( $n = 1$ ):

Venstre side: $1^{2} = 1$

Høyre side: ${(- 1)}^{1 - 1} \cdot \frac{1 \cdot 2}{2} = 1 \cdot 1 = 1$

Siden venstre og høyre side er like, er $P (1)$ sann.

Induksjonssteg:

Vi antar at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - \dots + {(- 1)}^{k + 1} \cdot k^{2} = {(- 1)}^{k - 1} \cdot \frac{k (k + 1)}{2}

Vi skal vise at $P (k + 1)$ da også er sann, altså at

1^{2} - 2^{2} + \dots + {(- 1)}^{k + 1} \cdot k^{2} + {(- 1)}^{k + 2} \cdot {(k + 1)}^{2} = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

Vi tar utgangspunkt i venstre side og bruker induksjonsantakelsen på de $k$ første leddene:

\underset{= {(- 1)}^{k - 1} \cdot \frac{k (k + 1)}{2} (ind.ant.)}{\underset{⏟}{1^{2} - 2^{2} + \dots + {(- 1)}^{k + 1} \cdot k^{2}}} + {(- 1)}^{k + 2} \cdot {(k + 1)}^{2}

Siden ${(- 1)}^{k + 2} = {(- 1)}^{k}$ og ${(- 1)}^{k - 1} = - {(- 1)}^{k}$ , får vi

- {(- 1)}^{k} \cdot \frac{k (k + 1)}{2} + {(- 1)}^{k} \cdot {(k + 1)}^{2} = {(- 1)}^{k} \cdot (k + 1) [(k + 1) - \frac{k}{2}]

Vi forenkler parentesen:

(k + 1) - \frac{k}{2} = \frac{2 (k + 1) - k}{2} = \frac{k + 2}{2}

Dermed blir uttrykket

{(- 1)}^{k} \cdot (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{2} = {(- 1)}^{(k + 1) - 1} \cdot \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

som er nettopp høyre side av $P (k + 1)$ . Dermed er $P (k + 1)$ sann når $P (k)$ er sann.

Konklusjon:

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ for alle $k \in ℕ$ , er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet.

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2} for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2022, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Bevis, Induksjon, Rekker

Innstillinger