Induksjonsbevis for geometrisk sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden $P$ gitt ved

P (n) : \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 1 + k + k^{2} + k^{3} + \dots + k^{n - 1}, n \in ℕ

Fasit

Se bevis i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal bevise ved induksjon at

P (n) : \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 1 + k + k^{2} + \dots + k^{n - 1}, n \in ℕ

Basissteg

Vi sjekker at $P (1)$ er sann. Venstre side blir

\frac{k^{1} - 1}{k - 1} = 1

Høyre side består bare av leddet $k^{0} = 1$ (siden $n - 1 = 0$ ), altså $1$ . Venstre og høyre side er like, så $P (1)$ er sann.

Induksjonssteg

Vi antar at $P (n)$ er sann for et vilkårlig $n \in ℕ$ , altså at

\frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 1 + k + k^{2} + \dots + k^{n - 1} (induksjonshypotesen)

Vi skal vise at da er $P (n + 1)$ også sann, altså at

\frac{k^{n + 1} - 1}{k - 1} = 1 + k + k^{2} + \dots + k^{n - 1} + k^{n}

Vi starter med høyre side og bruker induksjonshypotesen på de $n$ første leddene:

1 + k + k^{2} + \dots + k^{n - 1} + k^{n} = \underset{induksjonshypotesen}{\underset{⏟}{\frac{k^{n} - 1}{k - 1}}} + k^{n}

Vi setter på felles brøkstrek:

= \frac{k^{n} - 1 + k^{n} (k - 1)}{k - 1} = \frac{k^{n} - 1 + k^{n + 1} - k^{n}}{k - 1} = \frac{k^{n + 1} - 1}{k - 1}

Dette er nettopp venstre side i $P (n + 1)$ . Dermed har vi vist at $P (n + 1)$ er sann når $P (n)$ er sann.

Konklusjon

Siden $P (1)$ er sann, og $P (n)$ sann medfører at $P (n + 1)$ er sann, følger det av induksjonsprinsippet at $P (n)$ er sann for alle $n \in ℕ$ .

Q.E.D.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2016, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Innstillinger