Hippokrates-månen og arealet av trekant AOC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To halvsirkler med sentrum i O og D. Hippokrates-månen mellom buene er blå

Ovenfor ser du to halvsirkler. Den ene har sentrum i $O$ og radius $O A = r$ , den andre har sentrum i $D$ og radius $A D$ .

Vis at $A C = r \cdot \sqrt{2}$

Vis ved regning at arealet av området som er markert med blått på figuren ovenfor, er lik arealet av $△ A O C$ .

Fasit

$A C = r \sqrt{2}$ (vist ved regning)

Vist ved regning: arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av $△ A O C$ , begge $\frac{r^{2}}{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Fra figuren ser vi at $△ A O C$ har rett vinkel i $O$ , og at begge katetene er radier i den store halvsirkelen: $O A = O C = r$ .

Vi bruker Pytagoras’ setning på $△ A O C$ :

A C^{2} = O A^{2} + O C^{2} = r^{2} + r^{2} = 2 r^{2}

Vi tar kvadratroten på begge sider:

A C = \sqrt{2 r^{2}} = r \sqrt{2}

A C = r \sqrt{2}

Vi skal vise at arealet av Hippokrates-månen (blått område) er lik arealet av $△ A O C$ . Ideen er å uttrykke månens areal som

Areal(måne) = Areal(liten halvsirkel over A C) - Areal(sirkelsegment mellom korden A C og buen A C)

Arealet av $△ A O C$

Trekanten er rettvinklet med katetene $O A = O C = r$ :

Areal (△ A O C) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{r^{2}}{2}

Arealet av sektoren $A O C$

Siden vinkelen i $O$ er $90 °$ , er sektoren $A O C$ en kvart av den store sirkelen med radius $r$ :

Areal(sektor A O C) = \frac{90 °}{360 °} \cdot π r^{2} = \frac{π r^{2}}{4}

Arealet av sirkelsegmentet

Sirkelsegmentet mellom korden $A C$ og buen $A C$ (den delen av sektoren som ligger utenfor $△ A O C$ ) er differansen mellom sektoren og trekanten:

Areal(segment) = \frac{π r^{2}}{4} - \frac{r^{2}}{2}

Arealet av den lille halvsirkelen

Den lille halvsirkelen har $A C$ som diameter, altså radius $\frac{A C}{2} = \frac{r \sqrt{2}}{2}$ . Arealet av en halvsirkel er $\frac{1}{2} π \cdot {(radius)}^{2}$ :

Areal(liten halvsirkel) = \frac{1}{2} π {(\frac{r \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{2 r^{2}}{4} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{r^{2}}{2} = \frac{π r^{2}}{4}

Arealet av månen

Månen er det som er igjen av den lille halvsirkelen når vi trekker fra sirkelsegmentet (den delen av halvsirkelen som overlapper med den store sirkelens sektor):

Areal(måne) = Areal(liten halvsirkel) - Areal(segment)

Areal(måne) = \frac{π r^{2}}{4} - (\frac{π r^{2}}{4} - \frac{r^{2}}{2}) = \frac{π r^{2}}{4} - \frac{π r^{2}}{4} + \frac{r^{2}}{2} = \frac{r^{2}}{2}

Konklusjon

Vi ser at

Areal(måne) = \frac{r^{2}}{2} = Areal (△ A O C)

Arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av △ A O C

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2013, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis

Hippokrates-månen og arealet av trekant AOC

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hippokrates-månen og arealet av trekant AOC

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hippokrates-månen og arealet av trekant AOC

Hippokrates-månen og arealet av trekant AOC

Lov på eksamen

Temaer