Hildes terningkast

Hilde kaster en terning med seks sider. La $X$ være antall øyne hun får på terningen.

Bestem forventningsverdien $E (X)$

Hilde regner ut at standardavviket $S D (X) = 1,7$ . Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.

Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?

Fasit

3,5

100

Løsningsforslag

For å finne forventningsverdien lager jeg en tabell og regner ut $\sum_{i = 1}^{6} x \cdot P (X = x)$

$x$	$P (X = x)$	$x \cdot P (X = x)$
1	$\frac{1}{6}$	$1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
2	$\frac{1}{6}$	$2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$
3	$\frac{1}{6}$	$3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$
4	$\frac{1}{6}$	$4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$
5	$\frac{1}{6}$	$5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
6	$\frac{1}{6}$	$6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{6}$
Sum	1	$\frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5$

Forventningsverdien er 3,5.

Standardavviket til ett kast er $S D (X) = 1,7$ .

Vi lar $S$ være summen av $n$ forsøk med $X$ slik at

S = X_{1} + X_{2} + X_{3} + \dots + X_{n}

Sentralgrensesetningen sier at $S$ vil være tilnærmet normalfordelt med variansen og standardavviket:

Var (S) = n \cdot Var (X) ⟹ S D (S) = \sqrt{n} \cdot S D (X)

Fra normalfordelingstabellen så kan jeg finne ut at 68 % av arealet under normalfordelingskurven ligger innenfor pluss/minus ett standardavvik fra forventningsverdien. Altså må det være 32 % sannsynlighet for å få observasjon mer enn ett standardavvik fra forventningsverdien.

Standardnormalfordelingskurve der området under kurven mellom −1 og 1 er skravert. Det skraverte arealet er merket a = 0.68.

Siden vi vet at 32 % tilsvarer mer enn ett standardavvik fra forventningsverdien, må 17 øyne være ett standardavvik.

\begin{matrix} S D (S) & = 17 \\ \sqrt{n} \cdot S D (X) & = 17 \\ \sqrt{n} \cdot 1,7 & = 17 \\ \sqrt{n} & = 10 \\ n & = 100 \end{matrix}

Hilde må kaste terningen 100 ganger før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2024, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Forventningsverdi, Normalfordeling, Standard normalfordeling, Utforskning, Sentralgrenseteoremet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Hildes terningkast

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hildes terningkast

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hildes terningkast

Hildes terningkast

Lov på eksamen

Temaer