Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Totalkostnaden $K$ i kroner for å produsere en vare er gitt ved

K(x) = x^2 + 50x + 6400

Her er $x$ antall produserte enheter per uke.

Bestem grensekostnaden når det produseres $50$ enheter. Hva forteller dette svaret oss?

Bestem den produksjonsmengden $x$ som gir lavest kostnad per produserte enhet.

Fasit

$\underline{\underline{K'(50) = 150 \, \mathrm{kr}}}$ — kostnaden øker med ca. 150 kr når produksjonen økes fra 50 til 51 enheter.

Lavest enhetskostnad ved $\underline{\underline{x = 80}}$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K(x) = x^2 + 50x + 6400$ :

K'(x) = 2x + 50

Grensekostnaden når det produseres 50 enheter:

K'(50) = 2 \cdot 50 + 50 = 100 + 50 = \mathbf{150}

Tolkning: Når produksjonen økes fra 50 til 51 enheter per uke, øker totalkostnaden med ca. $\underline{\underline{150 \, \mathrm{kr}}}$ . Det vil si at den 51. enheten koster ca. 150 kr å produsere.

Enhetskostnaden er kostnad per produsert enhet:

E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{x^2 + 50x + 6400}{x} = x + 50 + \frac{6400}{x}

Vi deriverer og setter $E'(x) = 0$ :

E'(x) = 1 - \frac{6400}{x^2} = 0

\frac{6400}{x^2} = 1

x^2 = 6400

x = 80 \quad (x > 0)

Vi sjekker at dette er et minimum ved fortegnsskjema for $E'(x)$ :

For $x < 80$ : $x^2 < 6400$ , så $E'(x) = 1 - \frac{6400}{x^2} < 0$ (synkende)
For $x > 80$ : $x^2 > 6400$ , så $E'(x) = 1 - \frac{6400}{x^2} > 0$ (stigende)

$E(x)$ har et minimum i $x = 80$ .

Lavest kostnad per enhet oppnås ved å produsere $\underline{\underline{x = 80}}$ enheter per uke.

(Enhetskostnaden blir da $E(80) = 80 + 50 + \frac{6400}{80} = 80 + 50 + 80 = 210 \, \mathrm{kr/enhet}$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering

Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Sync på tvers av enheter

Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave