Grafens lengde med polylinje

For en deriverbar funksjon $f$ kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to $x$ -verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.

Polylinje langs graf

Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall $[a, b]$ , kan vi dele dette intervallet i $N$ like store delintervall $[x_{i}, x_{i + 1}]$ med bredde $h = \frac{b - a}{N}$ og $x_{i} = a + i \cdot h$ .

Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene $(x_{i}, f (x_{i}))$ og $(x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ . Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra $x = a$ til $x = b$ .

For hånd

Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet $(x_{i}, f (x_{i}))$ til punktet $(x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ , er gitt ved

S_{i} = \sqrt{h^{2} + k_{i}^{2}}, der k_{i} = f (x_{i + 1}) - f (x_{i})

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}, D_{g} = [- 1, 1]

$S_{i}, k_{i} og h_{i}$

Oppsett for hånd

Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til $g$ ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.

Fasit

Se løsningsforslag.

$L \approx 3,1416$ (konvergerer mot $π$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på linjestykket fra $(x_{i}, f (x_{i}))$ til $(x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ .

Den horisontale komponenten er

Δ x = x_{i + 1} - x_{i} = h

og den vertikale komponenten er

k_{i} = f (x_{i + 1}) - f (x_{i})

Disse to komponentene utgjør katetene i en rettvinklet trekant der linjestykket er hypotenusen. Pythagoras’ setning gir da

S_{i} = \sqrt{{(Δ x)}^{2} + k_{i}^{2}} = \sqrt{h^{2} + k_{i}^{2}}

Vi deler $[- 1, 1]$ i $N = 1000$ like store delintervall og summerer lengdene $S_{i}$ :

import math
a, b, N = -1, 1, 1000
h = (b - a) / N
L = 0
for i in range(N):
    xi = a + i * h
    xj = a + (i + 1) * h
    ki = math.sqrt(max(1 - xj**2, 0)) - math.sqrt(max(1 - xi**2, 0))
    L += math.sqrt(h**2 + ki**2)
print(L)   # ≈ 3,1416

Programmet gir $L \approx 3,1416$ .

Rimelighetsvurdering: Funksjonen $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ er den øvre halvdelen av enhetssirkelen (radius $r = 1$ ). Den eksakte buelengden er halve omkretsen av enhetssirkelen:

L = \frac{2 π r}{2} = π \approx 3,14159 \dots

Tilnærmingen $3,1416$ stemmer godt med $π$ , noe som bekrefter at svaret er rimelig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som bruker Pytagoras’ setning og som begrunner at lengdene til katetene i de ulike rettvinklede trekantene er henholdsvis $h$ og $k_{i} = f (x_{i + 1}) - f (x_{i})$ kan få full uttelling. Kandidater som ikke sier noe om $k_{i}$ kan få 1 poeng.

Korrekt utregning som er kommunisert godt og som vurderer om svaret er rimelig nøyaktig gis full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Programmering
Kompetansemål: Utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene
Gjøre rede for integral som en grenseverdi av en følge av summer, og tolke betydningen av denne grenseverdien i ulike situasjoner
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter

Grafens lengde med polylinje

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grafens lengde med polylinje

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grafens lengde med polylinje

Grafens lengde med polylinje

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer