De fire første leddene finner vi ved å sette inn $n=1,2,3,4$ i $a_n={\displaystyle \frac{2^{n-1}}{3^n}}$:

For at rekken skal være geometrisk må forholdet mellom to påfølgende ledd være konstant. Vi sjekker:

Forholdet er det samme, ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, uansett hvilke to påfølgende ledd vi ser på (generelt: ${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{2^n/3^{n+1}}{2^{n-1}/3^n}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$). Rekken er derfor geometrisk med kvotient

Summen av de $n$ første leddene i en geometrisk rekke er

Vi skal finne minste $n$ slik at $S_n>\mathrm{0,999}$:

Løser vi likningen $1-{(2/3)}^n=\mathrm{0,999}$ i CAS, finner vi $n\approx \mathrm{17,04}$. Se skjermbildet under, der vi også har kontrollert med $S(17)$ og $S(18)$.

Siden $n$ må være et helt tall, og $S(17)\approx \mathrm{0,99899}<\mathrm{0,999}$ mens $S(18)\approx \mathrm{0,99932}>\mathrm{0,999}$, må vi minst ta med

ledd.

Rekken konvergerer fordi kvotienten $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$ oppfyller $|k|<1$. Summen av en konvergent geometrisk rekke er

Dette stemmer med CAS-utregningen (SumUendelig) i skjermbildet over.

Hver dag tar pasienten en tablett på $\mathrm{0,33}\mathrm{mg}$, og kroppen bryter ned $\mathrm{33,3}\%$ av medisinen som er lagret, på ett døgn. Det betyr at $\mathrm{66,7}\%\approx {\displaystyle \frac{2}{3}}$ av medisinen blir værende i kroppen fra én dag til den neste.

Mengden medisin i kroppen etter $n$ dager er summen av alle tablettene som er tatt, der hver tablett er redusert med faktoren ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ for hvert døgn som har gått siden den ble tatt:

Dette er en geometrisk rekke med $a_1=\mathrm{0,33}$ og $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$, altså samme kvotient som i a)-c). Siden $|k|<1$, konvergerer mengden medisin i kroppen mot en grenseverdi når $n$ blir stor (MedisinGrense i skjermbildet over):

Siden grenseverdien $\mathrm{0,99}\mathrm{mg}$ er lavere enn faregrensen på $\mathrm{1,5}\mathrm{mg}$, vil ikke medisinmengden i kroppen noen gang overstige det farlige nivået, selv om pasienten fortsetter behandlingen over lang tid.

Jeg ville derfor anbefalt denne medisinbehandlingen, siden opphopningen av medisin i kroppen flater ut på et trygt nivå og ikke fortsetter å øke mot faregrensen.