Geometrisk rekke med eksponentialledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En geometrisk rekke er gitt ved

S (x) = 1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + e^{- 3 x} + \dots

For hvilke verdier av $x$ konvergerer denne rekken?

Bestem $x$ slik at rekken konvergerer mot $3$ .

Fasit

$x > 0$

$x = \ln \frac{3}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $S (x) = 1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + e^{- 3 x} + \dots$ er en geometrisk rekke med $a_{1} = 1$ og kvotient $k = e^{- x}$ .

En geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ . Siden $e^{- x} > 0$ for alle $x$ , er betingelsen

e^{- x} < 1

Vi tar $\ln$ på begge sider:

- x < \ln 1 = 0 \Rightarrow x > 0

Rekken konvergerer altså for $x > 0$ .

For $x > 0$ konvergerer rekken mot

S (x) = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - e^{- x}}

Vi setter $S (x) = 3$ :

\frac{1}{1 - e^{- x}} = 3

1 = 3 (1 - e^{- x})

1 = 3 - 3 e^{- x}

3 e^{- x} = 2

e^{- x} = \frac{2}{3}

Vi tar $\ln$ på begge sider:

- x = \ln \frac{2}{3} \Rightarrow x = - \ln \frac{2}{3} = \ln \frac{3}{2}

Siden $\ln \frac{3}{2} > 0$ , oppfyller løsningen konvergensbetingelsen fra a).

x = \ln \frac{3}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2018, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Eksponentialfunksjon

Innstillinger