Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal se på en rettvinklet trekant $A B C$ der $A B = 8$ og $B C = 16$ . Punktet $A_{1}$ halverer $A C$ , $A_{2}$ halverer $A_{1} C$ og så videre. Punktet $B_{1}$ halverer $B C$ , $B_{2}$ halverer $B_{1} C$ og så videre. Se skissen nedenfor.

Rettvinklet trekant med inndelede punkter

For hånd

1. Forklar at summen av arealene til trapesene $A B B_{1} A_{1}$ , $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ og så videre kan skrives

48 + 12 + 3 + \dots

2. Forklar at dette er en geometrisk rekke, og at rekken konvergerer.

For hånd

Finn summen til den uendelige rekken, både ved å bruke formelen for sum av en rekke og ved å bruke et geometrisk resonnement.

Fasit

Geometrisk rekke med $k = \frac{1}{4}$ , konvergerer siden $| k | < 1$ .

$s = 64$

LøsningsforslagKI-generert

Trekant $A B C$ er rettvinklet i $B$ , med $A B = 8$ og $B C = 16$ . Arealet av hele trekanten er

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 = 64

Punktet $A_{1}$ ligger på $A C$ slik at $C A_{1} = \frac{1}{2} C A$ , og $B_{1}$ ligger på $B C$ slik at $C B_{1} = \frac{1}{2} C B$ . Da er trekant $C A_{1} B_{1}$ formlik med trekant $C A B$ (samme vinkel i $C$ , og sidene er skalert med samme faktor $\frac{1}{2}$ ), og arealforholdet mellom formlike figurer er kvadratet av lengdeforholdet:

\frac{T_{C A_{1} B_{1}}}{T_{C A B}} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow T_{C A_{1} B_{1}} = \frac{1}{4} \cdot 64 = 16

Trapeset $A B B_{1} A_{1}$ er det som blir igjen av trekant $C A B$ når trekant $C A_{1} B_{1}$ er fjernet, så

T_{A B B_{1} A_{1}} = T_{C A B} - T_{C A_{1} B_{1}} = 64 - 16 = 48

Tilsvarende ligger $A_{2}$ og $B_{2}$ slik at $C A_{2} = \frac{1}{2} C A_{1}$ og $C B_{2} = \frac{1}{2} C B_{1}$ , altså er trekant $C A_{2} B_{2}$ formlik med $C A_{1} B_{1}$ med skala $\frac{1}{2}$ , og

T_{C A_{2} B_{2}} = \frac{1}{4} \cdot T_{C A_{1} B_{1}} = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4

T_{A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}} = T_{C A_{1} B_{1}} - T_{C A_{2} B_{2}} = 16 - 4 = 12

Dette mønsteret fortsetter: for hvert nye trapes blir arealet av den «gjenværende» trekanten mot toppen $(C A_{n} B_{n})$ redusert med faktor $\frac{1}{4}$ fra forrige, og trapesarealet er differansen mellom to slike påfølgende trekantarealer. Derfor blir også hvert trapesareal $\frac{1}{4}$ av det forrige:

48, 12, 3, \dots

Dette bekreftes i GeoGebra CAS, se utklipp under: med $a_{1} = 48$ og $k = \frac{1}{4}$ blir $a_{2} = a_{1} \cdot k = 12$ og $a_{3} = a_{2} \cdot k = 3$ .

CAS-utregning

Rekken $48 + 12 + 3 + \dots$ er dermed en geometrisk rekke med kvotient

k = \frac{12}{48} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Siden $| k | = \frac{1}{4} < 1$ , konvergerer rekken (summen nærmer seg en endelig grenseverdi når antall ledd går mot uendelig).

Med formelen for sum av en uendelig geometrisk rekke:

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{48}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{48}{\frac{3}{4}} = 64

Se s i CAS-utklippet over, som stemmer med denne utregningen.

Med et geometrisk resonnement: Når $n \to \infty$ , går $A_{n}$ og $B_{n}$ mot punktet $C$ , siden avstanden $C A_{n}$ og $C B_{n}$ halveres for hver $n$ og går mot $0$ . Det betyr at trapesene $A B B_{1} A_{1}, A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}, \dots$ til sammen dekker hele trekant $A B C$ uten overlapp, når vi tar med uendelig mange trapeser. Summen av alle trapesarealene må derfor være lik hele arealet av trekant $A B C$ :

s = T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 = 64

Begge metodene gir samme svar.

$s = 64$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Her må eleven regne ut minst ett areal og så forklare at forholdstallet mellom arealene videre er 1/4, da det lineære forholdstallet er 1/2.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2011, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Rekker

Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer