Volumet av omdreiningslegemet som oppstår når grafen til $f$ dreies $360°$ om $x$-aksen på $[1,a]$, er gitt ved

Vi regner ut integralet.

GeoGebra CAS (linje 2 i utklippet) bekrefter ${\displaystyle {\int }_1^a\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t=1-\frac{1}{a}}$.

Altså er

Dette stemmer med linje 3 i CAS-utklippet, som gir $\ln |a|$.

Overflatearealet til omdreiningslegemet er gitt ved formelen

Fra CAS-utklippet (linje 1) har vi $f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, som ikke er null for noen $x\in [1,a]$. Dermed er ${\left(f^{\prime }(x)\right)}^2>0$, og

Siden $f(x)>0$ på hele intervallet, følger det at

Fordi $2\pi >1$ og ${\displaystyle {\int }_1^{a}f(x)\mathrm{d}x>0}$, er også ${\displaystyle 2\pi {\int }_1^{a}f(x)\mathrm{d}x>{\int }_1^{a}f(x)\mathrm{d}x}$. Vi har dermed vist at

Fra a) har vi $V(a)=\pi (1-{\displaystyle \frac{1}{a}})$. Når $a\to \infty$, går ${\displaystyle \frac{1}{a}}\to 0$, så

Volumet av Gabriels horn er altså endelig og lik $\pi$ volumenheter.

Fra b) vet vi at $O(a)>\ln a$ for alle $a>1$. Når $a\to \infty$, går $\ln a\to \infty$. Siden $O(a)$ er større enn en størrelse som vokser mot uendelig, må også $O(a)\to \infty$:

Overflatearealet av Gabriels horn er altså uendelig.

Kommentar: Dette er det berømte paradokset til Gabriels horn (også kalt «Torricellis trompet»): legemet har et endelig volum ($\pi$), men en uendelig stor overflate. Fylles hornet med maling (et endelig volum maling holder), vil malingen i teorien dekke hele den indre overflaten – som er uendelig stor. Man kan altså «fylle» hornet, men aldri «male» det utvendig med en endelig mengde maling. Dette illustrerer at et konvergent integral (${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$) og et divergent integral (${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\mathrm{d}x$) kan opptre samtidig i samme geometriske figur.