Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Krever PC

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f (x) = {\begin{matrix} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ ■ ■ ■ ■, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{matrix}

Hun husker at $f$ er kontinuerlig for alle $x \in ℝ$ . Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at $f^{'} (- 2) = - 9$ og $f^{'} (1) = 0$ .

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

Delen som mangler er $- \frac{13}{27} x^{3} + \frac{7}{9} x^{2} - \frac{1}{9} x - \frac{113}{27}$

Løsningsforslag

For at $f$ skal være kontinuerlig så må funksjonsverdien for $f (- 2) = \lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$ og $f (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ . Vi sjekker funksjonsverdiene.

\begin{matrix} f (- 2) & = - 9 \cdot (- 2) - 15 = 18 - 15 = 3 \\ f (1) & = \frac{1^{2}}{2} - 1 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{7}{2} = - \frac{8}{2} = - 4 \end{matrix}

Tredjegradsfunksjonen vår bør altså gå mot $3$ når $x \to - 2^{+}$ og $- 4$ når $x \to 1^{-}$ .

I tillegg skal $f^{'} (- 2) = - 9$ og $f^{'} (1) = 0$ . Disse opplysningen sier oss at $f$ må være deriverbar i $x = - 2$ og $x = 1$ . Jeg setter opp uttrykket for en tredjegradsfunksjon i CAS i GeoGebra i linje 1 og legger inn de fire opplysningene våre i linje 2.

Løsning i CAS

Det fullstendige funksjonsuttrykket for $f$ er

f (x) = {\begin{matrix} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ - \frac{13}{27} x^{3} + \frac{7}{9} x^{2} - \frac{1}{9} x - \frac{113}{27}, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{matrix}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som setter opp likningssettet, men ikke klarer å finne funksjonen kan få 2 poeng. En kandidat som finner verdiene som skal brukes i likningene kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2025, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Funksjoner
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer