Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

I denne oppgaven skal du studere fjerdegradsfunksjoner som har to vendepunkter.

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = \frac{1}{12} (x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2})$ .

La $S$ og $T$ være de to vendepunktene, med $S$ lengst til venstre på grafen.

For hånd

Tegn grafen til $f$ .

For hånd

Finn $f^{''} (x)$ og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene $S$ og $T$ .

For hånd

Finn likningen for den rette linja gjennom punktene $S$ og $T$ . Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy.

For hånd

Vi lar $Q$ være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut $\frac{S T}{T Q}$ .

En annen fjerdegradsfunksjon $g$ er gitt ved $g (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ .

La $S_{1}$ og $T_{1}$ være de to vendepunktene, med $S_{1}$ lengst til venstre på grafen.

Du skal gjennomføre tilsvarende oppgaver som i a), b), c) og d):

For hånd

Tegn grafen til $g$ .

Finn $g^{''} (x)$ og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene $S_{1}$ og $T_{1}$ .

Finn likningen for den rette linja gjennom punktene $S_{1}$ og $T_{1}$ . Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til $g$ og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy.

Vi lar $Q_{1}$ være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut $\frac{S_{1} T_{1}}{T_{1} Q_{1}}$ . Kommenter resultatet.

Fasit

Se graf.

$f^{''} (x) = x^{2} - x - 2$ . $S = (- 1, - \frac{3}{4})$ , $T = (2, - 4)$

$y = - \frac{13}{12} x - \frac{11}{6}$ . Skjæringspunkter i $x = \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{2} \approx - 2,85$ og $x = \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} \approx 3,85$

$\frac{S T}{T Q} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ (det gylne snitt)

$S_{1} = (- 1, - 5)$ , $T_{1} = (1, - 5)$ , linje $y = - 5$ , skjæringspunkter $x = \pm \sqrt{5}$ . $\frac{S_{1} T_{1}}{T_{1} Q_{1}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ — samme forhold som i d), det gylne snitt

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f (x) = \frac{1}{12} (x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2})$ i GeoGebra.

Graf til f med vendepunkter S og T, linja gjennom dem og de to andre skjæringspunktene

Vi deriverer $f$ to ganger:

f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x

f^{''} (x) = x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)

Fortegnslinja til $f^{''} (x) = (x + 1) (x - 2)$ :

Fortegnslinje for f''(x)

Fortegnet til $f^{''} (x)$ skifter både i $x = - 1$ og $x = 2$ , så begge er vendepunkter. Vi setter inn i $f$ :

f (- 1) = \frac{1}{12} (1 + 2 - 12) = - \frac{3}{4}

f (2) = \frac{1}{12} (16 - 16 - 48) = - 4

Siden $S$ ligger lengst til venstre:

S = (- 1, - \frac{3}{4}) T = (2, - 4)

Stigningstallet til linja gjennom $S$ og $T$ :

a = \frac{- 4 - (- \frac{3}{4})}{2 - (- 1)} = \frac{- \frac{13}{4}}{3} = - \frac{13}{12}

Med punkt-retningsformelen gjennom $T = (2, - 4)$ :

y - (- 4) = - \frac{13}{12} (x - 2) \Rightarrow y = - \frac{13}{12} x - \frac{11}{6}

For å finne skjæringspunktene mellom grafen og linja løser vi $f (x) = - \frac{13}{12} x - \frac{11}{6}$ i GeoGebra CAS.

CAS-utregning av vendepunkter, linje gjennom S og T, og skjæringspunkter med grafen

Likningen har fire løsninger: $x = - 1$ og $x = 2$ (altså $S$ og $T$ selv, som ligger på både grafen og linja), samt de to nye skjæringspunktene

x = \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{2} \approx - 2,85 og x = \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} \approx 3,85

$Q$ er skjæringspunktet lengst til høyre, altså med $x_{Q} = \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2}$ .

Siden $S$ , $T$ og $Q$ ligger på samme rette linje, er forholdet mellom lengdene $S T$ og $T Q$ det samme som forholdet mellom $x$ -avstandene (skaleringsfaktoren $\sqrt{1 + a^{2}}$ fra Pytagoras går ut av brøken):

\frac{S T}{T Q} = \frac{| x_{T} - x_{S} |}{| x_{Q} - x_{T} |} = \frac{| 2 - (- 1) |}{| \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} - 2 |} = \frac{3}{\frac{3 \sqrt{5} - 3}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1}

Vi rasjonaliserer nevneren (bekreftet i CAS, linje 9–10 i utklippet over):

\frac{S T}{T Q} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2 (\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\frac{S T}{T Q} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618

Dette tallet er det gylne snitt.

Vi gjennomfører samme analyse for $g (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ .

1) Grafen til $g$

Graf til g med vendepunkter S₁ og T₁, linja gjennom dem og skjæringspunktene med grafen

2) Vendepunktene

g^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x g^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)

Fortegnslinje til $g^{''} (x)$ :

Fortegnslinje for g''(x)

Vi setter inn: $g (- 1) = 1 - 6 = - 5$ og $g (1) = 1 - 6 = - 5$ . Siden $S_{1}$ ligger lengst til venstre:

S_{1} = (- 1, - 5) T_{1} = (1, - 5)

3) Linja gjennom $S_{1}$ og $T_{1}$ og skjæringspunktene

Siden $S_{1}$ og $T_{1}$ har samme $y$ -verdi, er linja horisontal: $y = - 5$ .

Skjæring med grafen (bekreftet i CAS, se utklipp under): $x^{4} - 6 x^{2} = - 5 \Rightarrow x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$ . Med $u = x^{2}$ gir dette $u^{2} - 6 u + 5 = 0$ , altså $u = 1$ eller $u = 5$ , som gir

x = \pm 1 (dette er S_{1} og T_{1}) og x = \pm \sqrt{5}

De to nye skjæringspunktene er altså i $x = - \sqrt{5}$ og $x = \sqrt{5}$ .

CAS-utregning av vendepunkter for g, linje gjennom S₁ og T₁, og forholdet S₁T₁/T₁Q₁

4) Forholdet $\frac{S_{1} T_{1}}{T_{1} Q_{1}}$

$Q_{1}$ er skjæringspunktet lengst til høyre, med $x_{Q_{1}} = \sqrt{5}$ . Siden linja er horisontal, kan vi bruke $x$ -avstandene direkte:

\frac{S_{1} T_{1}}{T_{1} Q_{1}} = \frac{| 1 - (- 1) |}{| \sqrt{5} - 1 |} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2 (\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\frac{S_{1} T_{1}}{T_{1} Q_{1}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618

Kommentar: Vi får nøyaktig samme forhold som i oppgave d) — det gylne snitt. Dette er ikke tilfeldig: det ser ut til å være et generelt mønster at linja gjennom vendepunktene til en fjerdegradsfunksjon med to vendepunkter skjærer grafen i to nye punkter $R$ og $Q$ slik at forholdet mellom $S T$ (avstanden mellom vendepunktene) og $T Q$ (avstanden fra nærmeste vendepunkt til det ytre skjæringspunktet) alltid er lik det gylne snitt $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , uavhengig av hvilken fjerdegradsfunksjon (med to vendepunkter) man tar utgangspunkt i.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2009, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Utforskning

Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer