Differansene øker med $2$ for hver figur (oddetall: 3, 5, 7, …). Vi fortsetter mønsteret:

Utregning:

• Figur 4: $10+7=17$
• Figur 5: $17+9=26$
• Figur 6: $26+11=37$
• Figur 7: $37+13=50$
• Figur 8: $50+15=65$

Rikke påstår at antall blå kvadrater i figur $n$ er $n^2+1$. Vi skal vise dette geometrisk for figur 2, 3 og 4 ved å tenke oss at kvadratene er plassert annerledes.

Nøkkelideen: Vi kan alltid dele opp figuren i et $n\times n$-kvadrat pluss 1 ekstra kvadrat.

Figur 2 ($n=2$): $2^2+1=5$ kvadrater.

Plasser 4 kvadrater i et $2\times 2$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $4+1=5$ kvadrater. ✓

Figur 3 ($n=3$): $3^2+1=10$ kvadrater.

Plasser 9 kvadrater i et $3\times 3$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $9+1=10$ kvadrater. ✓

Figur 4 ($n=4$): $4^2+1=17$ kvadrater.

Plasser 16 kvadrater i et $4\times 4$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $16+1=17$ kvadrater. ✓

Dette viser at Rikkes påstand stemmer: antall blå kvadrater i figur $n$ er alltid $n^2$ (ett fullstendig kvadrat) pluss $1$ ekstra kvadrat.

Vi teller antall grønne kvadrater i de første figurene fra bildet:

Dette er et nytt mønster — ikke det samme som for de blå kvadratene. Differansene er $4,6,8,\dots$ (de øker med $2$), så antallet vokser som en andregradsfølge. Vi setter $G(n)=a{n}^2+bn+c$ og bruker de tre første verdiene:

Trekker vi likningene fra hverandre, får vi $3a+b=4$ og $5a+b=6$, altså $a=1$, $b=1$ og $c=0$.

Vi kan også forstå dette geometrisk: hver grønn figur er satt sammen av et $n\times n$-kvadrat ($n^2$ kvadrater) pluss $n$ ekstra kvadrater. Vi kontrollerer:

• Figur 1: $1^2+1=2$ ✓
• Figur 2: $2^2+2=6$ ✓
• Figur 3: $3^2+3=12$ ✓
• Figur 4: $4^2+4=20$ ✓

Antall grønne kvadrater i figur $n$ er $\underline{\underline{G(n)=n^2+n}}$.