Figuren nedenfor viser hvordan femkanttallene er bygd opp.

Femkanttallene er gitt ved den rekursive formelen

$$P_{n+1} = P_n + 3n + 1 \,, \quad P_1 = 1$$

a)

Vis ved induksjon at

$$P_n = \frac{3n^2 - n}{2}$$

Mathias observerer at det er mulig å regne ut $P_n$ som summen av tre trekanttall, der trekanttall nummer $n$ er $T_n = 1 + 2 + \cdots + n$. Se figuren nedenfor. Han brukte dette til å vise at $P_n = \dfrac{3n^2 - n}{2}$.

b)

Bruk ideen til Mathias til å utlede formelen for $P_n$.