Vi skal vise ved induksjon at

for alle $n\ge 1$, gitt at $P_1=1$ og $P_{n+1}=P_n+3n+1$.

Basissteg ($n=1$):

Formelen stemmer for $n=1$.

Induksjonssteg: Anta at påstanden er sann for $n=k$, altså at

Vi skal vise at påstanden da også er sann for $n=k+1$. Fra den rekursive formelen har vi

Setter vi inn induksjonsantakelsen $P_k=\frac{3k^2-k}{2}$, får vi

Vi sammenlikner med hva formelen $P_n=\frac{3n^2-n}{2}$ skal gi for $n=k+1$:

Dette er nøyaktig samme uttrykk som vi fant for $P_{k+1}$ ovenfor. Formelen er altså også sann for $n=k+1$.

Siden formelen er sann for $n=1$, og sann for $n=k+1$ når den er sann for $n=k$, følger det ved induksjonsprinsippet at

Trekanttall nummer $n$ er summen av de $n$ første naturlige tallene:

Fra figuren ser vi at Mathias deler $P_n$ opp i ett trekanttall $T_n$ og to like store trekanttall $T_{n-1}$, altså

Kontroll for $n=5$: $T_5={\displaystyle \frac{5\cdot 6}{2}}=15$ og $T_4={\displaystyle \frac{4\cdot 5}{2}}=10$, som gir

Generell utledning: Vi setter inn $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ og $T_{n-1}=\frac{(n-1)n}{2}$ i uttrykket over:

Setter vi de to brøkene sammen, får vi

Dette stemmer med formelen fra a), og vi har dermed utledet formelen geometrisk ved hjelp av Mathias’ idé: