Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Newtons 2. lov sier at $F = m \cdot a$ , der $F$ er summen av kreftene som virker på en gjenstand med masse $m$ og akselerasjon $a$ .

Vi minner om at akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tiden.

Newtons 2. lov kan for eksempel brukes til å beskrive og studere fallskjermhopp.

En fallskjermhopper med fallskjermen har til sammen massen $m$ . La $v (t)$ være farten til hopperen ved tiden $t$ etter uthoppet. Hoppingen skjer fra et utoverhengende fjell, slik at vi kan anta at $v (0) = 0$ . Det er to krefter som virker på hopperen: tyngdekraften $m \cdot g$ og luftmotstanden som er $- k_{1} \cdot v (t)$ når fallskjermen er lukket. Her er $k_{1}$ en konstant og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Alle størrelsene har benevning i SI-systemet, det vil si at masse måles i kg, tid måles i sekunder og strekning måles i meter.

For hånd

Vis at Newtons 2. lov kan omformes til følgende differensiallikning:

v^{'} (t) + \frac{k_{1}}{m} v (t) = g

Vi setter $m = 80$ , $g = 10$ og $k_{1} = 16$ .

For hånd

Vis at $v (t) = 50 - 50 \cdot e^{- 0,2 t}$ er en løsning av differensiallikningen i a).

Kalkulator

Finn farten og akselerasjonen til hopperen når $t = 4$ .

Etter 5 sekunder drar hopperen i snora og utløser fallskjermen. Vi regner med at luftmotstanden nå blir $- k_{2} \cdot v {(t)}^{2}$ . Vi setter $g = 10$ og $k_{2} = 8$ .

For hånd

Bruk Newtons 2. lov til å sette opp en differensiallikning for situasjonen når fallskjermen er åpnet.

For hånd

Differensiallikningen i d) er separabel. Vi setter $v$ i stedet for $v (t)$ . Vis at vi kan skrive differensiallikningen som:

(\frac{1}{10 - v} + \frac{1}{10 + v}) \frac{d v}{d t} = 2

For hånd

Finn et uttrykk for $v$ ved å løse differensiallikningen i e).

Fasit

Vis at $v^{'} (t) + \frac{k_{1}}{m} v (t) = g$ — se løsningsforslag.

Vis at $v (t) = 50 - 50 e^{- 0,2 t}$ løser likningen — se løsningsforslag.

$v (4) \approx 27,53 m / s$ og $a (4) \approx 4,49 m / s^{2}$

$v^{'} (t) = 10 - 0,1 v {(t)}^{2}$

Vis at $(\frac{1}{10 - v} + \frac{1}{10 + v}) \frac{d v}{d t} = 2$ — se løsningsforslag.

$v (t) = 10 \cdot \frac{1 + B e^{- 2 t}}{1 - B e^{- 2 t}}$ , der $B = \frac{4 e - 5}{6 e - 5} \approx 0,5193$ og $t$ er tiden etter at fallskjermen åpnes

LøsningsforslagKI-generert

Newtons 2. lov sier at summen av kreftene som virker på hopperen er lik $m \cdot a$ . De to kreftene som virker er tyngdekraften $m \cdot g$ (i fallretningen) og luftmotstanden $- k_{1} \cdot v (t)$ (motsatt fallretningen). Akselerasjonen er $a = v^{'} (t)$ . Dette gir

m \cdot v^{'} (t) = m \cdot g - k_{1} \cdot v (t)

Vi dividerer begge sider med $m$ :

v^{'} (t) = g - \frac{k_{1}}{m} v (t)

v^{'} (t) + \frac{k_{1}}{m} v (t) = g

Med $m = 80$ , $g = 10$ og $k_{1} = 16$ blir $\frac{k_{1}}{m} = \frac{16}{80} = 0,2$ , så likningen fra a) blir $v^{'} (t) + 0,2 \cdot v (t) = 10$ .

Vi deriverer $v (t) = 50 - 50 e^{- 0,2 t}$ :

v^{'} (t) = 10 e^{- 0,2 t}

Setter vi inn i venstre side av differensiallikningen:

v^{'} (t) + 0,2 \cdot v (t) = 10 e^{- 0,2 t} + 0,2 (50 - 50 e^{- 0,2 t}) = 10 e^{- 0,2 t} + 10 - 10 e^{- 0,2 t} = 10

Dette er lik høyresiden $g = 10$ , så $v (t) = 50 - 50 e^{- 0,2 t}$ er en løsning av differensiallikningen. Dette er kontrollert med GeoGebra CAS (linje 3 i utklippet), der Forenkle(a1(t) + 0.2·v1(t)) gir nøyaktig $10$ .

CAS-utregning

Fra CAS (linje 4 og 5) er

v (4) = 50 - 50 e^{- 0,8} \approx 27,53 m / s

a (4) = v^{'} (4) = 10 e^{- 0,8} \approx 4,49 m / s^{2}

$v (4) \approx 27,53 m / s$ og $a (4) \approx 4,49 m / s^{2}$

Fire sekund etter uthoppet faller hopperen med en fart på ca. $27,5 m / s$ , og farten øker fortsatt med ca. $4,5 m / s$ per sekund.

Etter at fallskjermen er åpnet virker fortsatt tyngdekraften $m \cdot g$ , men luftmotstanden er nå $- k_{2} \cdot v {(t)}^{2}$ . Newtons 2. lov gir da

m \cdot v^{'} (t) = m \cdot g - k_{2} \cdot v {(t)}^{2}

Med $m = 80$ , $g = 10$ og $k_{2} = 8$ :

80 \cdot v^{'} (t) = 800 - 8 v {(t)}^{2}

v^{'} (t) = 10 - 0,1 v {(t)}^{2}

Vi faktoriserer høyresiden:

v^{'} (t) = 10 - 0,1 v^{2} = 0,1 (100 - v^{2}) = 0,1 (10 - v) (10 + v)

Vi deler begge sider med $(10 - v) (10 + v)$ :

\frac{1}{(10 - v) (10 + v)} \cdot \frac{d v}{d t} = 0,1

Delbrøksoppspalting av venstre brøk gir

\frac{1}{(10 - v) (10 + v)} = \frac{1}{20} (\frac{1}{10 - v} + \frac{1}{10 + v})

som vises ved å sette de to brøkene $\frac{A}{10 - v} + \frac{B}{10 + v}$ på fellesnevner og løse $A (10 + v) + B (10 - v) = 1$ , som gir $A = B = \frac{1}{20}$ . Setter vi dette inn og ganger begge sider med $20$ :

(\frac{1}{10 - v} + \frac{1}{10 + v}) \frac{d v}{d t} = 0,1 \cdot 20 = 2

Vi integrerer begge sider av likningen fra e) med hensyn på $t$ :

\int (\frac{1}{10 - v} + \frac{1}{10 + v}) d v = \int 2 d t

GeoGebra CAS (linje 6 i utklippet) gir

- \ln | 10 - v | + \ln | 10 + v | = 2 t + C \Leftrightarrow \ln | \frac{10 + v}{10 - v} | = 2 t + C

La $t = 0$ være tidspunktet fallskjermen åpnes. Da er starthastigheten (kontinuitet med b), siden fallskjermen åpnes $5 s$ etter uthoppet):

v (0) = v_{0} = 50 - 50 e^{- 1} \approx 31,61 m / s

Siden $v_{0} \approx 31,61 m / s$ er større enn likevektsfarten $10 m / s$ (der $v^{'} (t) = 0$ ), vil $v (t) > 10$ for alle $t \geq 0$ . Da er $| 10 - v | = v - 10$ , så

\ln (\frac{10 + v}{v - 10}) = 2 t + C

Konstanten $C$ bestemmes av $v (0) = v_{0}$ . Løser vi likningen for $v$ og setter inn grenseverdien, viser GeoGebra CAS (linje 7–10 i utklippet) at

v (t) = 10 \cdot \frac{1 + B e^{- 2 t}}{1 - B e^{- 2 t}}, B = \frac{4 e - 5}{6 e - 5} \approx 0,5193

CAS bekrefter at $v (0) \approx 31,61 m / s$ , som stemmer med $v_{0}$ (linje 10). Når $t \to \infty$ går $B e^{- 2 t} \to 0$ , slik at $v (t) \to 10 m / s$ — hopperen synker mot en konstant fart på $10 m / s$ med fallskjermen åpen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2008, del 2, oppgave 4-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Substitusjon, Funksjoner, Bevis

Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer