Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Gitt likningen

x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12 = (x - 1) (x + a) (x - b)

Bestem $a$ og $b$ slik at likningen blir en identitet.

Fasit

$a = 2 \land b = 6$

Løsningsforslag

Hvis likningen skal være en identitet så må uttrykkene på høyre side og venstre side være like for alle $x$ .

Vi ser av faktoriseringen at $(x - 1)$ er en faktor i $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$ . Det enkleste er nok derfor å dividere begge sider av likningen med $(x - 1)$ for å finne et andregradsuttrykk.¹ Venstre side blir da:

\begin{matrix} (x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12 & ) : (x - 1) = x^{2} - 4 x - 12 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 4 x^{2} - 8 x + 12 \\ - 4 x^{2} + 4 x + 0 \\ - 12 x + 12 \\ - 12 x + 12 \\ 0 \end{matrix}

Jeg utfører divisjonen på begge sider av den opprinnelige likningen og får

\begin{matrix} (x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12) : (x - 1) & = (x - 1) (x + a) (x - b) : (x - 1) \\ \underset{Heltallsmetoden}{\underset{⏟}{x^{2} - 4 x - 12}} & = (x + a) (x - b) \\ (x + 2) (x - 6) & = (x + a) (x - b) \end{matrix}

Jeg ser at $a = 2 \land b = 6$ for at likningen skal bli en identitet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, men ikke kommer fram til riktige verdier for $a$ og $b$ , kan få 1 poeng.

Det er også mulig å gange ut parentesene på høyre side og sammenligne like ledd for å finne $a$ og $b$ , men det krever nok mer arbeid. ↩

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2023, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Likninger, Identiteter, Faktorisering, Polynomdivisjon
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon

Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Lov på eksamen

Footnotes

Temaer