Enhetskostnad og overskudd for bedrift S1 H14

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer $x$ enheter av en vare. Enhetskostnaden $E (x)$ kroner per produsert enhet er gitt ved

E (x) = 4 x + 1200 + \frac{20000}{x}, x > 0

Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 200 enheter av varen? Hva blir da den samlede produksjonskostnaden?

Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 2000 kroner per enhet.

Forklar at bedriftens overskudd $O$ når det produseres $x$ enheter, er gitt ved

O (x) = - 4 x^{2} + 800 x - 20000

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?

Fasit

$E (200) = 2100 kr$ , samlet produksjonskostnad $420 000 kr$

Overskudd $=$ inntekt $-$ kostnad $\Rightarrow O (x) = - 4 x^{2} + 800 x - 20000$

$x = 100 enheter$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 200$ inn i uttrykket for enhetskostnaden:

E (200) = 4 \cdot 200 + 1200 + \frac{20000}{200} = 800 + 1200 + 100 = 2100

Enhetskostnaden er altså $2100$ kroner per enhet.

Den samlede produksjonskostnaden finner vi ved å multiplisere enhetskostnaden med antall enheter:

K (200) = E (200) \cdot 200 = 2100 \cdot 200 = 420 000

Samlet produksjonskostnad er $420 000$ kroner.

Bedriften selger alt den produserer for $2000$ kroner per enhet, så inntekten ved $x$ enheter er

I (x) = 2000 x

Den samlede produksjonskostnaden ved $x$ enheter er enhetskostnaden multiplisert med $x$ :

K (x) = E (x) \cdot x = (4 x + 1200 + \frac{20000}{x}) \cdot x = 4 x^{2} + 1200 x + 20000

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = 2000 x - (4 x^{2} + 1200 x + 20000)

O (x) = - 4 x^{2} + 800 x - 20000

Dette stemmer med det oppgitte uttrykket.

Vi deriverer overskuddsfunksjonen og setter den lik null:

O^{'} (x) = - 8 x + 800

- 8 x + 800 = 0 \Rightarrow x = 100

Siden $O^{''} (x) = - 8 < 0$ , er dette et toppunkt (maksimum).

Produksjonsmengden som gir størst overskudd, er $x = 100$ enheter.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2014, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon

Innstillinger