Eksponentiell nedgang av antibiotika i kroppen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vibeke har fått en bakterieinfeksjon og tar tabletter med antibiotika. En tablett inneholder $220 \mathrm{~mg}$ antibiotika. Antall milligram antibiotika i kroppen reduseres med $11 \%$ hver time.

Vibeke tar én tablett. Hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes etter én time, og hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes etter åtte timer?

Vibeke tar en tablett hver åttende time.

Hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin andre tablett, og hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin tredje tablett?

Skisser grafen som viser hvor mange milligram antibiotika Vibeke til enhver tid har i kroppen det første døgnet etter at hun begynte å ta tablettene.

Fasit

Etter 1 time: $\underline{\underline{195{,}80 \, \mathrm{mg}}}$ . Etter 8 timer: $\underline{\underline{86{,}60 \, \mathrm{mg}}}$ .

Rett etter 2. tablett: $\underline{\underline{306{,}60 \, \mathrm{mg}}}$ . Rett etter 3. tablett: $\underline{\underline{340{,}70 \, \mathrm{mg}}}$ .

Se graf i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Antibiotika reduseres med $11 \,\%$ per time. Det betyr at $89 \,\%$ er igjen for hver time som går. Vi bruker formelen for eksponentiell nedgang:

A(t) = 220 \cdot 0{,}89^t

Etter 1 time:

A(1) = 220 \cdot 0{,}89^1 = 220 \cdot 0{,}89 \approx \underline{\underline{195{,}80 \, \mathrm{mg}}}

Etter 8 timer:

A(8) = 220 \cdot 0{,}89^8 \approx \underline{\underline{86{,}60 \, \mathrm{mg}}}

Etter 8 timer er det altså bare litt under $87 \, \mathrm{mg}$ igjen av den første tabletten.

Vibeke tar en ny tablett hver 8. time. Rett etter hun tar tabletten, legges $220 \, \mathrm{mg}$ til det som allerede er igjen i kroppen.

Rett etter 2. tablett (etter 8 timer):

Fra deloppgave a) vet vi at det er $86{,}60 \, \mathrm{mg}$ igjen. Hun tar en ny tablett:

86{,}60 + 220 = \underline{\underline{306{,}60 \, \mathrm{mg}}}

Det er $306{,}60 \, \mathrm{mg}$ antibiotika i kroppen hennes rett etter den andre tabletten.

Rett etter 3. tablett (etter 16 timer):

I de neste 8 timene nedbrytes de $306{,}60 \, \mathrm{mg}$ med $11 \,\%$ per time:

306{,}60 \cdot 0{,}89^8 \approx 120{,}70 \, \mathrm{mg}

Hun tar så sin tredje tablett:

120{,}70 + 220 = \underline{\underline{340{,}70 \, \mathrm{mg}}}

Det er $340{,}70 \, \mathrm{mg}$ antibiotika i kroppen hennes rett etter den tredje tabletten.

Grafen viser mengden antibiotika i kroppen over de første $24$ timene. Den består av tre eksponentielle biter — én for hver tablett. Hvert segment starter fra mengden rett etter inntaket og faller med $11 \,\%$ per time, inntil neste tablett tas etter 8 timer.

Nøkkelpunkter for skissen:

Tidspunkt $t$	Hendelse	Mengde (mg)
$t = 0$	1. tablett tas	$220{,}00$
$t = 4$	(midtveis)	$138{,}03$
$t = 8^-$	Rett FØR 2. tablett	$86{,}60$
$t = 8^+$	Rett ETTER 2. tablett	$306{,}60$
$t = 12$	(midtveis)	$192{,}37$
$t = 16^-$	Rett FØR 3. tablett	$120{,}70$
$t = 16^+$	Rett ETTER 3. tablett	$340{,}70$
$t = 20$	(midtveis)	$213{,}76$
$t = 24$	Slutt på første døgn	$134{,}12$

Grafen har tre eksponentielt fallende kurver med et loddrett hopp oppover på $220 \, \mathrm{mg}$ ved $t = 8$ og $t = 16$ (når ny tablett tas). Kurven for tredje segment starter høyere enn de forrige fordi det akkumuleres mer antibiotika for hver dose.

Mengde antibiotika i kroppen gjennom det første døgnet

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering

Eksponentiell nedgang av antibiotika i kroppen

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell nedgang av antibiotika i kroppen

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave