Eksponentiell modell for virkestoff i blod

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når en pasient har tatt en tablett, vil virkestoffet i tabletten brytes ned i kroppen. Konsentrasjonen av virkestoffet i blodet vil avta eksponentielt med tiden.

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen i mikrogram per milliliter ( $\text{µg/mL}$ ) av virkestoffet i blodet 1 time etter og 24 timer etter at pasienten har tatt tabletten.

Timer etter at pasienten har tatt tabletten	1	24
Konsentrasjon av virkestoff i blodet ( $\text{µg/mL}$ )	$0{,}50$	$0{,}050$

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell $f(x)$ for konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $x$ timer etter at pasienten har tatt en tablett.

Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 10 timer etter at pasienten har tatt en tablett.

En pasient begynner å ta tabletter. Han tar én tablett klokka 08.00 hver morgen og én tablett klokka 20.00 hver kveld.

Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten.

Fasit

$f(x) \approx 0{,}5526 \cdot 0{,}9047^x$

$\underline{\underline{f(10) \approx 0{,}203 \, \text{µg/mL}}}$

$\underline{\underline{\approx 0{,}119 \, \text{µg/mL}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker modellen $f(x) = a \cdot b^x$ der $x$ er antall timer etter at tabletten er tatt.

Fra tabellen vet vi:

f(1) = 0{,}50 \quad \text{og} \quad f(24) = 0{,}050

Dette gir oss to likninger:

a \cdot b^1 = 0{,}50

a \cdot b^{24} = 0{,}050

Vi deler den andre likningen på den første:

\frac{a \cdot b^{24}}{a \cdot b^1} = \frac{0{,}050}{0{,}50}

b^{23} = 0{,}10

b = 0{,}10^{\frac{1}{23}} \approx 0{,}9047

Vi setter $b$ inn i den første likningen for å finne $a$ :

a \cdot 0{,}9047 = 0{,}50

a = \frac{0{,}50}{0{,}9047} \approx 0{,}5526

Den eksponentielle modellen er:

\textcolor{seagreen}{f(x) \approx 0{,}5526 \cdot 0{,}9047^x}

der $x$ er antall timer etter at tabletten er tatt, og $f(x)$ er konsentrasjonen i $\text{µg/mL}$ .

Grafen til den eksponentielle modellen for virkestoff i blodet

Vi setter $x = 10$ inn i modellen:

f(10) = 0{,}5526 \cdot 0{,}9047^{10} \approx 0{,}203

10 timer etter at pasienten har tatt tabletten, er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $\underline{\underline{0{,}203 \, \text{µg/mL}}}$ .

Pasienten tar første tablett klokka 08.00 (vi kaller dette $t = 0$ ).

Andre tablett tas klokka 20.00, altså $t = 12$ timer etter første tablett.

Vi skal finne konsentrasjonen 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten, altså klokka 14.00 dagen etter.

På dette tidspunktet har:

Første tablett virket i 30 timer: konsentrasjonen er $f(30)$
Andre tablett virket i $30 - 12 = 18$ timer: konsentrasjonen er $f(18)$

Den samlede konsentrasjonen er summen av bidragene fra begge tablettene:

f(30) + f(18) = 0{,}5526 \cdot 0{,}9047^{30} + 0{,}5526 \cdot 0{,}9047^{18}

\approx 0{,}0274 + 0{,}0912

\approx 0{,}119

30 timer etter at pasienten tok den første tabletten, er den samlede konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $\underline{\underline{0{,}119 \, \text{µg/mL}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering

Eksponentiell modell for virkestoff i blod

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell modell for virkestoff i blod

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave