2P Høst 2016 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Tallene på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv tallene nedenfor på standardform

26,3 millioner 16,5 \cdot 10^{- 8}

Fasit

$26,3 millioner = 2,63 \cdot 10^{7}$

$16,5 \cdot 10^{- 8} = 1,65 \cdot 10^{- 7}$

LøsningsforslagKI-generert

Standardform betyr at vi skriver tallet slik: ett siffer foran komma, ganget med en tierpotens.

Første tall: $26,3 millioner$

Vi skriver «millioner» som $10^{6}$ , og setter inn:

26,3 \cdot 10^{6}

Her er det to sifre foran komma. Vi må flytte komma ett sted til venstre, og øker eksponenten med 1:

2,63 \cdot 10^{7}

Andre tall: $16,5 \cdot 10^{- 8}$

Her er det to sifre foran komma. Vi flytter komma ett sted til venstre og øker eksponenten med 1:

1,65 \cdot 10^{- 7}

Svar: $26,3 millioner = 2,63 \cdot 10^{7}$ og $16,5 \cdot 10^{- 8} = 1,65 \cdot 10^{- 7}$

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Regning med tall på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret som desimaltall

\frac{3,5 \cdot 10^{8}}{7,0 \cdot 10^{5} \cdot 0,5 \cdot 10^{6}}

Fasit

$0,001$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut nevneren først:

7,0 \cdot 10^{5} \cdot 0,5 \cdot 10^{6}

Vi samler tallene og tierpotensene for seg:

= (7,0 \cdot 0,5) \cdot (10^{5} \cdot 10^{6}) = 3,5 \cdot 10^{11}

Nå setter vi inn i brøken:

\frac{3,5 \cdot 10^{8}}{3,5 \cdot 10^{11}} = \frac{3,5}{3,5} \cdot \frac{10^{8}}{10^{11}} = 1 \cdot 10^{8 - 11} = 1 \cdot 10^{- 3}

Vi skriver om til desimaltall. $10^{- 3} = \frac{1}{1000}$ , så:

1 \cdot 10^{- 3} = 0,001

Svar: $0,001$

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Prosentandel jenter på skolen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en skole er det 135 jenter og 115 gutter.

Hvor mange prosent av elevene er jenter?

Fasit

$54 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først det totale antallet elever:

135 + 115 = 250 elever

Prosentandelen jenter finner vi ved å dele antall jenter på totalt antall elever og gange med 100:

\frac{135}{250} \cdot 100 = 54 %

Svar: $54 %$ av elevene er jenter.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Prisendring opp og ned med prosent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vare kostet like mye i butikk A og butikk B. Så ble prisen endret.

I butikk A ble prisen først satt opp med 10 %. Senere ble prisen satt ned med 10 %. I butikk B ble prisen først satt ned med 10 %. Senere ble prisen satt opp med 10 %.

Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig.

Påstand 1: Varen koster nå minst i butikk A. Påstand 2: Varen koster nå minst i butikk B. Påstand 3: Varen koster nå like mye i de to butikkene.

Fasit

Påstand 3 er riktig — varen koster like mye i begge butikker.

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller startprisen $P$ .

Butikk A — først opp 10 %, så ned 10 %:

En økning på $10 %$ gir vekstfaktor $1,10$ . En nedgang på $10 %$ gir vekstfaktor $0,90$ .

P \cdot 1,10 \cdot 0,90 = P \cdot 0,99

Butikk B — først ned 10 %, så opp 10 %:

P \cdot 0,90 \cdot 1,10 = P \cdot 0,99

Begge butikker ender på $0,99 \cdot P$ , det vil si $99 %$ av startprisen.

Vi ser at det er likegyldig i hvilken rekkefølge vi ganger, fordi multiplikasjon er kommutativ: $1,10 \cdot 0,90 = 0,90 \cdot 1,10$ .

Svar: Påstand 3 er riktig — varen koster like mye i de to butikkene, nemlig $99 %$ av den opprinnelige prisen.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Halvering av pengebeløp med toerpotenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tenk deg at du har $1024 kroner$ . Hver uke framover bruker du halvparten av de pengene du har igjen.

Skriv $1024$ som en potens med grunntall $2$ , og regn med potenser for å bestemme hvor mye du vil ha igjen etter $7 uker$ .

Fasit

$1024 = 2^{10}$ . Etter $7 uker$ har du igjen $8 kroner$ ( $2^{3} kr$ ).

Løsningsforslag

Vi skriver først $1024$ som en potens med grunntall $2$ :

2^{1} = 2, 2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, 2^{5} = 32

2^{6} = 64, 2^{7} = 128, 2^{8} = 256, 2^{9} = 512, 2^{10} = 1024

1024 = 2^{10}

Å bruke halvparten av pengene hver uke betyr at beløpet halveres (deles på $2$ , altså $2^{1}$ ) for hver uke som går.

Etter $7 uker$ har beløpet blitt halvert $7$ ganger. Beløpet som er igjen blir:

\frac{1024}{2^{7}} = \frac{2^{10}}{2^{7}} = 2^{10 - 7} = 2^{3} = 8 kroner

Du vil ha igjen $8 kroner$ etter $7 uker$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Lineær modell for dyrebestand i utvikling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Linjediagram over antall dyr 2010–2015

Linjediagrammet ovenfor viser hvordan antall dyr av en art har avtatt innenfor et bestemt område i perioden 2010–2015.

Bestem en lineær funksjon som tilnærmet beskriver utviklingen.

Hvor mange dyr av arten vil det være i området i 2018 ifølge funksjonen fra oppgave a)?

Hvor mange år vil det gå før det ikke er flere dyr av arten igjen i området ifølge funksjonen fra oppgave a)?

Fasit

$f (x) = - 500 x + 8500$

$5000 d y r$

$17 år$ (år 2027)

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av to punkter fra linjediagrammet.

I 2010 ( $x = 0$ ) er det omtrent 8500 dyr, og i 2015 ( $x = 5$ ) er det omtrent 6000 dyr.

Vi beregner stigningstallet:

a = \frac{6000 - 8500}{5 - 0} = \frac{- 2500}{5} = - 500

Startverdi (når $x = 0$ ): $b = 8500$

Den lineære funksjonen er:

f (x) = - 500 x + 8500

Funksjonen $f (x) = - 500 x + 8500$ beskriver tilnærmet utviklingen i dyrebestanden, der $x$ er antall år etter 2010.

År 2018 er 8 år etter 2010, så vi setter inn $x = 8$ :

f (8) = - 500 \cdot 8 + 8500 = - 4000 + 8500 = 4500

Ifølge funksjonen vil det være omtrent $4500 d y r$ i området i 2018.

Vi finner nullpunktet til funksjonen, det vil si når $f (x) = 0$ :

- 500 x + 8500 = 0

- 500 x = - 8500

x = \frac{- 8500}{- 500} = 17

Ifølge funksjonen vil det ikke være flere dyr igjen etter $17 år$ , det vil si i år 2027.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Sondres frekvenstabell med manglende tall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sondre selger frukt og grønnsaker på torget

Sondre solgte frukt og grønnsaker på torget 20 lørdager i løpet av 2016. Hver av de 20 lørdagene skrev han opp hvor mange kunder han hadde. Han laget også en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene Sondre satte inn.

Antall kunder	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[0, 50 ⟩$		0,05
$[50, 100 ⟩$			6
$[100, 150 ⟩$	8
$[150, 200 ⟩$			20

Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler. Gjør beregninger eller forklar hvordan du tenker.

Nedenfor ser du listen der Sondre har skrevet opp hvor mange kunder han hadde hver av de 20 lørdagene. Tre av tallene er skjult under flekker.

116 100 ■ 125 185 125 150 ■ 60 75

120 50 140 175 ■ 88 133 96 105 169

Foreslå tre mulige tall som kan stå under de tre flekkene slik at de 20 verdiene ovenfor gir resultatene i tabellen.

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget.

Eksempel: $■ = 25$ , $■ = 155$ , $■ = 160$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at Sondre hadde totalt 20 lørdager, så $n = 20$ .

Klassen $[0, 50 ⟩$ : Relativ frekvens er $0,05$ , så

Frekvens = 0,05 \cdot 20 = 1

Kumulativ frekvens $= 1$ .

Klassen $[50, 100 ⟩$ : Kumulativ frekvens er $6$ , og forrige kumulativ var $1$ , så

Frekvens = 6 - 1 = 5, Relativ frekvens = \frac{5}{20} = 0,25

Klassen $[100, 150 ⟩$ : Frekvens er $8$ , så

Relativ frekvens = \frac{8}{20} = 0,4, Kumulativ frekvens = 6 + 8 = 14

Klassen $[150, 200 ⟩$ : Kumulativ frekvens er $20$ , og forrige kumulativ var $14$ , så

Frekvens = 20 - 14 = 6, Relativ frekvens = \frac{6}{20} = 0,3

Utfylt tabell:

Antall kunder	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[0, 50 ⟩$	1	0,05	1
$[50, 100 ⟩$	5	0,25	6
$[100, 150 ⟩$	8	0,40	14
$[150, 200 ⟩$	6	0,30	20

Vi teller de kjente tallene i listen per klasse:

$[0, 50 ⟩$ : ingen av de kjente verdiene
$[50, 100 ⟩$ : $60, 75, 88, 96, 50$ — det er $5$ verdier (klassen er full)
$[100, 150 ⟩$ : $116, 100, 125, 125, 150, 120, 140, 133$ — det er $8$ verdier (klassen er full)
$[150, 200 ⟩$ : $185, 175, 169$ — det er $4$ verdier, men klassen trenger $6$

De tre flekkene må derfor fordele seg slik:

1 flekk må ha en verdi i klassen $[0, 50 ⟩$
2 flekker må ha verdier i klassen $[150, 200 ⟩$

Et mulig svar: $■ = 25$ , $■ = 155$ , $■ = 160$

Andre svar er også mulige, for eksempel $■ = 10$ , $■ = 151$ , $■ = 198$ , så lenge én verdi er i $[0, 50 ⟩$ og to verdier er i $[150, 200 ⟩$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Kumulativ frekvens
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Eksponentiell modell for bilverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Siri har kjøpt bil. Hun antar at verdien av bilen $x$ år etter at hun kjøpte den, vil være gitt ved

V (x) = 250 000 \cdot {0,9}^{x}

Hva forteller tallene 250 000 og 0,9 i dette funksjonsuttrykket om verdien av Siris bil?

Hva vil bilens verdi være ett år etter at Siri kjøpte den?

Fasit

250 000 er kjøpsprisen i kr. 0,9 betyr at bilen beholder 90 % av verdien hvert år (synker med 10 % per år).

$225 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonsuttrykket er $V (x) = 250 000 \cdot {0,9}^{x}$ .

Tallet 250 000 er verdien av bilen når $x = 0$ , det vil si da Siri kjøpte den. Dette er kjøpsprisen: $250 000 kr$ .

Tallet 0,9 er vekstfaktoren. Siden $0,9 = 1 - 0,1$ , betyr det at bilen mister $10 %$ av verdien hvert år (eller beholder $90 %$ av verdien hvert år).

Vi setter inn $x = 1$ (ett år etter kjøp):

V (1) = 250 000 \cdot {0,9}^{1} = 250 000 \cdot 0,9 = 225 000

Bilens verdi ett år etter at Siri kjøpte den, er $225 000 kr$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Gjennomsnitt og median fra klassedelt prøveresultat

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor mange poeng hver av de 30 elevene i en 2P-gruppe fikk på en matematikkprøve.

Poeng	Antall elever
$[0, 5 ⟩$	4
$[5, 10 ⟩$	12
$[10, 15 ⟩$	10
$[15, 20 ⟩$	0
$[20, 25 ⟩$	4

Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.

Per var en av elevene som hadde prøven. Han fikk 10 poeng og påstår at han var blant den beste halvdelen av elevene.

Kan Per bruke medianen for datamaterialet til å begrunne påstanden sin?

Fasit

$\overline{x} = 10,5 p o e n g$

Ja, medianen er under 10, så Per er blant den beste halvdelen.

LøsningsforslagKI-generert

Når vi har klassedelt datamateriale, bruker vi klassemidtene i beregningen av gjennomsnittet.

Klasse	Klassemidte	Frekvens	Klassemidte $\times$ frekvens
$[0, 5 ⟩$	$2,5$	$4$	$10$
$[5, 10 ⟩$	$7,5$	$12$	$90$
$[10, 15 ⟩$	$12,5$	$10$	$125$
$[15, 20 ⟩$	$17,5$	$0$	$0$
$[20, 25 ⟩$	$22,5$	$4$	$90$
Sum		30	315

\overline{x} = \frac{10 + 90 + 125 + 0 + 90}{30} = \frac{315}{30} = 10,5

Gjennomsnittet er $10,5 p o e n g$ .

For å finne medianen finner vi hvilken klasse den midterste verdien ligger i. Med 30 elever er medianen gjennomsnittet av verdi nummer 15 og 16.

Vi ser på kumulativ frekvens:

$[0, 5 ⟩$ : kumulativ frekvens $= 4$
$[5, 10 ⟩$ : kumulativ frekvens $= 4 + 12 = 16$

Verdi nummer 15 og 16 faller begge i klassen $[5, 10 ⟩$ . Medianen er dermed lavere enn $10$ .

Per fikk $10$ poeng, som er høyere enn medianen. Det betyr at mer enn halvparten av elevene fikk lavere poengsum enn ham.

Ja, Per kan bruke medianen til å begrunne påstanden sin. Siden medianen er under 10, hører Per til den beste halvdelen av elevene.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Matche avstand-tid-grafer til bevegelsessituasjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor har vi beskrevet fire ulike situasjoner.

Situasjon	Beskrivelse
1	Eline tar en løpetur. Hun starter hjemmefra i rolig tempo og øker så tempoet etter hvert. Etter en stund snur hun og løper raskt tilbake samme vei.
2	Eline løper hjemmefra for å rekke bussen. Etter å ha ventet noen minutter skjønner hun at hun ikke rakk bussen, og går tilbake samme vei.
3	Eline starter hjemmefra og går opp en bratt bakke. Hun tar en liten pause på toppen av bakken før hun løper tilbake samme vei.
4	Eline starter hjemmefra og padler over fjorden. I starten har hun motvind, men etter hvert avtar vinden, og farten øker.

Nedenfor ser du grafiske framstillinger som beskriver sammenhengen mellom tid og Elines avstand hjemmefra for hver av de fire situasjonene.

Fire avstand-tid-grafer A, B, C og D

Hvilken graf passer til situasjon 1? Hvilken graf passer til situasjon 2? Hvilken graf passer til situasjon 3? Hvilken graf passer til situasjon 4?

Begrunn svarene dine.

Fasit

Situasjon 1 → graf D, situasjon 2 → graf B, situasjon 3 → graf A, situasjon 4 → graf C

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på hva hver situasjon krever av grafen, og sammenligner med grafene A, B, C og D.

Situasjon 1 (rolig start, øker tempo, snur og løper raskt tilbake):

Avstand fra hjemmet øker sakte i starten, men stadig raskere — kurven buker oppover. Deretter snur hun og løper raskt hjem — kurven faller bratt. Dette passer til graf D, som viser en stigende kurve (tiltagende fart) etterfulgt av et raskt fall.

Situasjon 2 (løper for å rekke bussen, venter, går tilbake):

Eline løper raskt, så avstand øker bratt og lineært. Så venter hun — avstand er konstant (flatt parti). Deretter går hun hjem — avstand synker saktere enn den steg. Dette passer til graf B, som viser bratt stigning, platå og slakere fall.

Situasjon 3 (går opp bratt bakke, pause på toppen, løper tilbake):

Eline går jevnt oppover bakken — avstand øker lineært og saktere. Pause på toppen — flatt parti. Løper tilbake — avstand faller bratt. Dette passer til graf A, som viser jevn stigning, platå og raskt fall.

Situasjon 4 (padler over fjorden, motvind avtar og farten øker):

Eline padler bare én vei (over fjorden), og avstand fra hjemmet øker hele tiden. I starten er farten lav (motvind), men etter hvert øker farten — kurven buker oppover. Grafen snur aldri. Dette passer til graf C, som viser en stigende kurve der farten gradvis øker.

Svar:

Situasjon	Graf
1	D
2	B
3	A
4	C

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Graftolkning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 2-1Sektordiagram for massemediebruk

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Stolpediagram: Tid brukt på ulike massemedier en gjennomsnittsdag

Diagrammet ovenfor viser hvor mange minutter personer i Norge brukte på ulike massemedier en gjennomsnittsdag i 2015.

Lag et sektordiagram som viser hvor stor andel av tiden som ble brukt på hvert av de ulike massemediene.

Fasit

Se tabell og sektordiagram i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av stolpediagrammet og finner hvor mange minutter som ble brukt på hvert medium:

Medium	Minutter
Internett	127
TV	107
Radio	83
Papiraviser	16
Bøker	16
Ukeblader	2

Først finner vi totalt antall minutter:

127 + 107 + 83 + 16 + 16 + 2 = 351 m i n u t t e r

For å lage et sektordiagram må vi finne vinkelen til hver sektor. Vi bruker at hele sirkelen er $360 °$ , og regner ut andelen for hvert medium:

vinkel = \frac{minutter}{totalt} \cdot 360 °

Medium	Minutter	Andel	Vinkel
Internett	127	$\frac{127}{351} \approx 36,2 %$	$\frac{127}{351} \cdot 360 ° \approx 130 °$
TV	107	$\frac{107}{351} \approx 30,5 %$	$\frac{107}{351} \cdot 360 ° \approx 110 °$
Radio	83	$\frac{83}{351} \approx 23,6 %$	$\frac{83}{351} \cdot 360 ° \approx 85 °$
Papiraviser	16	$\frac{16}{351} \approx 4,6 %$	$\frac{16}{351} \cdot 360 ° \approx 16 °$
Bøker	16	$\frac{16}{351} \approx 4,6 %$	$\frac{16}{351} \cdot 360 ° \approx 16 °$
Ukeblader	2	$\frac{2}{351} \approx 0,6 %$	$\frac{2}{351} \cdot 360 ° \approx 2 °$

Vi tegner en sirkel og deler den inn i sektorer med disse vinklene. Vi bruker gradeskive og passer på at vinklene til sammen blir $360 °$ .

Sektordiagram over tid brukt på ulike massemedier en gjennomsnittsdag

Det ferdige sektordiagrammet viser at Internett tar den største andelen ( $36,2 %$ ), fulgt av TV ( $30,5 %$ ) og Radio ( $23,6 %$ ). Disse tre mediene utgjør til sammen nesten $90 %$ av tida som ble brukt på massemedier.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Diagram, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Eiendomsverdi med årlig prosentvis økning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Verdien av en eiendom har økt med $2,5 %$ per år fram til nå. Anta at verdien vil fortsette å øke med $2,5 %$ per år framover. I dag er eiendommen verd $6 500 000 kroner$ .

Kalkulator

Hva vil verdien av eiendommen være om 8 år?

Kalkulator

Hva var verdien av eiendommen for 8 år siden?

Krever PC

Når vil verdien av eiendommen passere 10 000 000 kroner?

Fasit

Ca. $7 920 000 kroner$ ( $7 919 619 kr$ )

Ca. $5 335 000 kroner$ ( $5 334 853 kr$ )

Etter ca. $17,4 år$ (i løpet av det 18. året)

Løsningsforslag

En årlig økning på $2,5 %$ gir vekstfaktoren:

k = 1 + \frac{2,5}{100} = 1,025

La $x$ være antall år fra i dag. Verdien $V (x)$ i kroner er modellert ved:

V (x) = 6 500 000 \cdot {1,025}^{x}

Verdien om 8 år ( $x = 8$ ):

V (8) = 6 500 000 \cdot {1,025}^{8} \approx 7 919 619 kroner

Verdien vil være omtrent $7 920 000 kroner$ (eller $7 919 619 kr$ ).

For å finne verdien for 8 år siden kan vi sette $x = - 8$ , eller dele dagens verdi på vekstfaktoren opphøyd i 8:

V (- 8) = \frac{6 500 000}{{1,025}^{8}} \approx 5 334 853 kroner

Verdien av eiendommen for 8 år siden var omtrent $5 335 000 kroner$ (eller $5 334 853 kr$ ).

Vi setter opp likningen for når verdien passerer $10 000 000 kroner$ :

6 500 000 \cdot {1,025}^{x} = 10 000 000

{1,025}^{x} = \frac{10 000 000}{6 500 000} = \frac{20}{13} \approx 1,5385

Vi løser likningen med logaritmer (eller grafisk / CAS):

\ln ({1,025}^{x}) = \ln (\frac{20}{13})

x \cdot \ln (1,025) = \ln (\frac{20}{13})

x = \frac{\ln (20 / 13)}{\ln (1,025)} \approx \frac{0,43078}{0,02469} \approx 17,45

Verdien av eiendommen vil passere $10 000 000 kroner$ etter ca. $17,4$ – $17,5 år$ (det vil si i løpet av det 18. året).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser pris og antall solgte enheter av en vare.

Pris (kroner)	15	19	24	30	34	42	50
Antall solgte enheter	160	132	108	90	79	67	58

Krever PC

Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 1600 \cdot x^{- 0,85}

er en god modell for sammenhengen mellom pris $x$ og antall solgte enheter av varen.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $15 \leq x \leq 50$

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem antall solgte enheter når prisen er 45 kroner.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem prisen når antall solgte enheter er 100.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen $f$ fra $x = 20$ til $x = 45$ . Hva forteller svaret om antall solgte enheter?

Fasit

Modellverdiene stemmer godt overens med tabellverdiene (maks avvik ca. $1,2$ ).

Graf av $f (x) = 1600 \cdot x^{- 0,85}$ for $15 \leq x \leq 50$ — avtagende kurve.

$f (45) \approx 63 e n h e t e r$

$x \approx 26 kr$

$\approx - 2,50 enheter per krone$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x$ -verdiene fra tabellen i $f (x) = 1600 \cdot x^{- 0,85}$ og sammenligner med de målte antallene:

Pris $x$ (kr)	Målt antall	$f (x)$	Avvik
15	160	160,1	0,1
19	132	131,0	−1,0
24	108	107,4	−0,6
30	90	88,8	−1,2
34	79	79,9	0,9
42	67	66,7	−0,3
50	58	57,5	−0,5

Alle avvik er svært små (maks $1,2$ enheter), og modellverdiene ligger tett på målingene for hele prisintervallet. $f (x) = 1600 \cdot x^{- 0,85}$ er dermed en god modell for sammenhengen.

Grafen til $f (x) = 1600 \cdot x^{- 0,85}$ for $15 \leq x \leq 50$ er en avtagende kurve. Den starter på ca. $160$ enheter ved $x = 15$ og synker til ca. $58$ enheter ved $x = 50$ . Kurven er brattest ved lave priser og flater gradvis ut.

Grafen til potensfunksjonen for etterspørsel

Den grå linjen er sekanten mellom $A = (20, 125,4)$ og $B = (45, 62,9)$ , som illustrerer den gjennomsnittlige vekstfarten i oppgave e).

Vi setter inn $x = 45$ i modellen:

f (45) = 1600 \cdot 45^{- 0,85}

= 1600 \cdot \frac{1}{45^{0,85}} \approx 1600 \cdot 0,03934 \approx 62,9

Når prisen er 45 kroner, selges det ca. $63 e n h e t e r$ .

Vi setter $f (x) = 100$ og løser likningen:

1600 \cdot x^{- 0,85} = 100

x^{- 0,85} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16}

x^{0,85} = 16

x = 16^{\frac{1}{0,85}} = 16^{\frac{20}{17}} \approx 26,1

Prisen er ca. $26 kr$ når 100 enheter selges.

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 20$ til $x = 45$ er:

\frac{f (45) - f (20)}{45 - 20}

Vi regner ut de to funksjonsverdiene:

f (20) = 1600 \cdot 20^{- 0,85} \approx 125,4

f (45) = 1600 \cdot 45^{- 0,85} \approx 62,9

\frac{f (45) - f (20)}{45 - 20} = \frac{62,9 - 125,4}{25} = \frac{- 62,5}{25} \approx - 2,50

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\approx - 2,50 enheter per krone$ .

Det betyr at for hver krone prisen øker i intervallet fra 20 til 45 kroner, synker antall solgte enheter i gjennomsnitt med ca. 2,5 enheter.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Etterspørsel, Gjennomsnittlig vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Gjennomsnitt median og standardavvik for to klasser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klasse 2A har hatt matematikkprøve. De 15 elevene i klassen fikk disse poengsummene:

31 8 24 9 24 14 26 13

26 4 13 27 12 20 28

Kalkulator

Bestem gjennomsnittet og medianen for poengsummene.

Påstand 1: Gjennomsnittet er 7,0 % lavere enn medianen. Påstand 2: Medianen er 7,5 % høyere enn gjennomsnittet.

Kalkulator

Avgjør om hver av påstandene ovenfor er riktige.

Kalkulator

Bestem standardavviket for poengsummene.

15 elever fra klasse 2B har hatt samme prøve. I denne klassen ble gjennomsnittet for poengsummene $18,6$ og standardavviket $5,9$ .

Kalkulator

Hva kan du si om poengsummene i 2B sammenliknet med poengsummene i 2A?

Fasit

Gjennomsnitt: $\overline{x} = 18,6$ , median: $M = 20$

Påstand 1 er riktig. Påstand 2 er ikke riktig (medianen er ca. $7,5 %$ høyere, men ikke nøyaktig $7,5 %$ ).

$s \approx 8,6$

Klassene har likt gjennomsnitt ( $18,6$ ), men 2A har større spredning ( $s \approx 8,6$ ) enn 2B ( $s = 5,9$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer de 15 poengsummene i stigende rekkefølge:

4 8 9 12 13 13 14 20 24 24 26 26 27 28 31

Gjennomsnitt er summen av alle verdiene delt på antall verdier:

\overline{x} = \frac{4 + 8 + 9 + 12 + 13 + 13 + 14 + 20 + 24 + 24 + 26 + 26 + 27 + 28 + 31}{15} = \frac{279}{15} = 𝟏𝟖,𝟔

Median er den midterste verdien når de er sortert. Med 15 verdier er den midterste den 8. verdien (grønn over):

$\overline{x} = 18,6$ og $M = 20$

Vi regner ut hvor mye gjennomsnittet skiller seg fra medianen:

Differanse = 20 - 18,6 = 1,4

Påstand 1: Gjennomsnittet er $7,0 %$ lavere enn medianen.

\frac{1,4}{20} \cdot 100 % = 7,0 %

Påstand 1 er riktig.

Påstand 2: Medianen er $7,5 %$ høyere enn gjennomsnittet.

\frac{1,4}{18,6} \cdot 100 % \approx 7,5 %

Vi regner mer nøyaktig: $\frac{1,4}{18,6} \cdot 100 \approx 7,53 %$ , ikke nøyaktig $7,5 %$ .

Påstand 2 er ikke riktig.

Standardavviket beregnes ved å bruke formelen for utvalg (slik et regneark bruker STDAV):

s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n - 1}}

Vi setter inn alle 15 verdiene med $\overline{x} = 18,6$ :

$x_{i}$	$x_{i} - \overline{x}$	${(x_{i} - \overline{x})}^{2}$
4	$- 14,6$	$213,16$
8	$- 10,6$	$112,36$
9	$- 9,6$	$92,16$
12	$- 6,6$	$43,56$
13	$- 5,6$	$31,36$
13	$- 5,6$	$31,36$
14	$- 4,6$	$21,16$
20	$1,4$	$1,96$
24	$5,4$	$29,16$
24	$5,4$	$29,16$
26	$7,4$	$54,76$
26	$7,4$	$54,76$
27	$8,4$	$70,56$
28	$9,4$	$88,36$
31	$12,4$	$153,76$
Sum		$𝟏𝟎𝟐𝟕,𝟔𝟎$

s = \sqrt{\frac{1027,60}{14}} = \sqrt{73,40} \approx 𝟖,𝟔

Standardavviket for poengsummene i 2A er $s \approx 8,6$ .

Vi sammenligner de to klassene:

	Klasse 2A	Klasse 2B
Gjennomsnitt	$18,6$	$18,6$
Standardavvik	$\approx 8,6$	$5,9$

Begge klassene har samme gjennomsnitt, så det typiske resultatet er likt i de to klassene.

Standardavviket i 2A ( $\approx 8,6$ ) er betydelig større enn i 2B ( $5,9$ ). Det betyr at poengsummene i 2A er mer spredt rundt gjennomsnittet enn i 2B. I 2B er resultatene jevnere — elevene der har prestert mer likt hverandre enn i 2A.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Eksponentiell modell for virkestoff i blod

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når en pasient har tatt en tablett, vil virkestoffet i tabletten brytes ned i kroppen. Konsentrasjonen av virkestoffet i blodet vil avta eksponentielt med tiden.

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen i mikrogram per milliliter ( $µg/mL$ ) av virkestoffet i blodet 1 time etter og 24 timer etter at pasienten har tatt tabletten.

Timer etter at pasienten har tatt tabletten	1	24
Konsentrasjon av virkestoff i blodet ( $µg/mL$ )	$0,50$	$0,050$

Kalkulator

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell $f (x)$ for konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $x$ timer etter at pasienten har tatt en tablett.

Kalkulator

Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 10 timer etter at pasienten har tatt en tablett.

En pasient begynner å ta tabletter. Han tar én tablett klokka 08.00 hver morgen og én tablett klokka 20.00 hver kveld.

Kalkulator

Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten.

Fasit

$f (x) \approx 0,5526 \cdot {0,9047}^{x}$

$f (10) \approx 0,203 µg/mL$

$\approx 0,119 µg/mL$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker modellen $f (x) = a \cdot b^{x}$ der $x$ er antall timer etter at tabletten er tatt.

Fra tabellen vet vi:

f (1) = 0,50 og f (24) = 0,050

Dette gir oss to likninger:

a \cdot b^{1} = 0,50

a \cdot b^{24} = 0,050

Vi deler den andre likningen på den første:

\frac{a \cdot b^{24}}{a \cdot b^{1}} = \frac{0,050}{0,50}

b^{23} = 0,10

b = {0,10}^{\frac{1}{23}} \approx 0,9047

Vi setter $b$ inn i den første likningen for å finne $a$ :

a \cdot 0,9047 = 0,50

a = \frac{0,50}{0,9047} \approx 0,5526

Den eksponentielle modellen er:

f (x) \approx 0,5526 \cdot {0,9047}^{x}

der $x$ er antall timer etter at tabletten er tatt, og $f (x)$ er konsentrasjonen i $µg/mL$ .

Grafen til den eksponentielle modellen for virkestoff i blodet

Vi setter $x = 10$ inn i modellen:

f (10) = 0,5526 \cdot {0,9047}^{10} \approx 0,203

10 timer etter at pasienten har tatt tabletten, er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $0,203 µg/mL$ .

Pasienten tar første tablett klokka 08.00 (vi kaller dette $t = 0$ ).

Andre tablett tas klokka 20.00, altså $t = 12$ timer etter første tablett.

Vi skal finne konsentrasjonen 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten, altså klokka 14.00 dagen etter.

På dette tidspunktet har:

Første tablett virket i 30 timer: konsentrasjonen er $f (30)$
Andre tablett virket i $30 - 12 = 18$ timer: konsentrasjonen er $f (18)$

Den samlede konsentrasjonen er summen av bidragene fra begge tablettene:

f (30) + f (18) = 0,5526 \cdot {0,9047}^{30} + 0,5526 \cdot {0,9047}^{18}

\approx 0,0274 + 0,0912

\approx 0,119

30 timer etter at pasienten tok den første tabletten, er den samlede konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $0,119 µg/mL$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Serielån for hytte med regneark

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

september 2016 kjøpte Monica en hytte. Hun lånte da 1 000 000 kroner av foreldrene.

De inngikk følgende avtale:

Renten på lånet skal være 2,5 % per år.
Tilbakebetalingen skal skje ved at Monica overfører 100 000 kroner til foreldrenes konto 1. september hvert år til lånet er nedbetalt.
Første overføring skal skje 1. september 2017.

I denne oppgaven skal du lage et regneark som viser

hvor mye Monica skylder foreldrene etter hver overføring fram til lånet er nedbetalt
hvor mye Monica betaler i renter, og hvor mye hun betaler i avdrag hvert år
hvor mye Monica totalt vil ha betalt i renter i løpet av nedbetalingstiden

Nedenfor ser du et eksempel på hvordan de første radene i regnearket kan se ut. Husk at du i størst mulig grad skal benytte formler, slik at løsningen blir dynamisk, og at formlene som er brukt, skal komme klart fram i besvarelsen din.

Eksempel på regneark for serielån

Lag regnearket beskrevet ovenfor.

Fasit

Lånet er nedbetalt etter 12 år (1. september 2028). Monica betaler totalt $165 334 kr$ i renter.

LøsningsforslagKI-generert

Oppgaven løses ved å sette opp et regneark der hver rad representerer ett år. Alle celler skal bruke formler slik at regnearket er dynamisk – det vil si at endringer i lånebeløp, rente eller terminbeløp automatisk oppdaterer alle beregninger.

Kolonner i regnearket

Vi setter opp følgende kolonner:

Kolonne	Innhold
A	År (dato for overføring)
B	Restgjeld ved årets start
C	Renter for året
D	Avdrag (innbetaling minus renter)
E	Terminbeløp (innbetaling)
F	Restgjeld etter overføring

Oppsett av formler

Rad 1 (overskrifter): Skriv inn kolonneoverskrifter som «År», «Restgjeld (start)», «Renter», «Avdrag», «Terminbeløp», «Restgjeld (slutt)».

Rad 2 (startrad, 1. september 2017):

A2: 2017 (eller datoen 01.09.2017)
B2: =1000000 (startlånet – her kan du legge lånebeløpet i en egen celle øverst og referere til den)
C2: =B2*0,025 (renter = restgjeld $\times$ rentesats)
D2: =E2-C2 (avdrag = terminbeløp minus renter)
E2: =MIN(100000; B2+C2) (terminbeløp er 100 000 kr, men siste innbetaling kan være mindre)
F2: =B2-D2 (ny restgjeld = gammel restgjeld minus avdrag)

Rad 3 og nedover:

A3: =A2+1
B3: =F2 (restgjeld ved starten av nytt år er lik restgjeld ved slutten av forrige år)
C3, D3, E3, F3: kopier formlene fra rad 2 rett ned

Kopier rad 3 nedover til restgjelden (kolonne F) viser 0. Lånet er nedbetalt det året F-kolonnen blir 0 eller negativ.

Resultat

Tabellen under viser hele nedbetalingsplanen:

År	Restgjeld (start)	Renter	Avdrag	Terminbeløp	Restgjeld (slutt)
2017	$1 000 000$	$25 000$	$75 000$	$100 000$	$925 000$
2018	$925 000$	$23 125$	$76 875$	$100 000$	$848 125$
2019	$848 125$	$21 203$	$78 797$	$100 000$	$769 328$
2020	$769 328$	$19 233$	$80 767$	$100 000$	$688 561$
2021	$688 561$	$17 214$	$82 786$	$100 000$	$605 775$
2022	$605 775$	$15 144$	$84 856$	$100 000$	$520 920$
2023	$520 920$	$13 023$	$86 977$	$100 000$	$433 943$
2024	$433 943$	$10 849$	$89 151$	$100 000$	$344 791$
2025	$344 791$	$8 620$	$91 380$	$100 000$	$253 411$
2026	$253 411$	$6 335$	$93 665$	$100 000$	$159 746$
2027	$159 746$	$3 994$	$96 006$	$100 000$	$63 740$
2028	$63 740$	$1 594$	$63 740$	$65 334$	$0$

Svar: Lånet er nedbetalt 1. september 2028 – etter 12 år. I de 11 første årene betaler Monica $100 000 kr$ per år. Det siste året (2028) er restgjelden bare $63 740 kr$ , og hun betaler da kun $63 740 + 1 594 = 65 334 kr$ .

Monica betaler totalt $165 334 kr$ i renter i løpet av nedbetalingstiden.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lån, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurtall F1, F2 og F3 laget av kvadratiske klosser

Snorre lager figurer av kvadratiske klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du figur $F_{1}$ , $F_{2}$ og $F_{3}$ .

Kalkulator

Hvor mange klosser trenger Snorre for å lage $F_{4}$ og for å lage $F_{5}$ ?

Kalkulator

Bestem et uttrykk for antall klosser i figur $F_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Snorre har 1000 klosser. Han vil lage en figur som er så stor som mulig.

Kalkulator

Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange klosser han får til overs når han har laget figuren.

Fasit

$F_{4} = 38$ klosser, $F_{5} = 62$ klosser

$F_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 2$

Snorre lager $F_{18}$ og har $80 klosser til overs$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forlenger mønsteret ved å se på oppbygningen av figurene.

Hver figur $F_{n}$ består av to deler:

En bunn-rektangel med $n$ rader og $n + 1$ kolonner: $n \cdot (n + 1)$ klosser.
To “ører” øverst i hjørnene, hvert med $(n - 1)$ rader og $(n - 1)$ kolonner: $2 \cdot {(n - 1)}^{2}$ klosser.

Vi kan sjekke:

Figur	Bunn	Ører	Totalt
$F_{1}$	$1 \cdot 2 = 2$	$2 \cdot 0^{2} = 0$	$2$
$F_{2}$	$2 \cdot 3 = 6$	$2 \cdot 1^{2} = 2$	$8$
$F_{3}$	$3 \cdot 4 = 12$	$2 \cdot 2^{2} = 8$	$20$
$F_{4}$	$4 \cdot 5 = 20$	$2 \cdot 3^{2} = 18$	$38$
$F_{5}$	$5 \cdot 6 = 30$	$2 \cdot 4^{2} = 32$	$62$

$F_{4}$ trenger $38$ klosser og $F_{5}$ trenger $62$ klosser.

Ut fra mønsteret i oppgave a) er antall klosser i $F_{n}$ :

F_{n} = n (n + 1) + 2 {(n - 1)}^{2}

Vi forenkler:

F_{n} = n^{2} + n + 2 (n^{2} - 2 n + 1)

F_{n} = n^{2} + n + 2 n^{2} - 4 n + 2

F_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 2

Vi kan kontrollere: $F_{1} = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 2$ ✓, $F_{2} = 12 - 6 + 2 = 8$ ✓, $F_{3} = 27 - 9 + 2 = 20$ ✓.

Vi finner den største $n$ slik at $F_{n} \leq 1000$ :

3 n^{2} - 3 n + 2 \leq 1000

3 n^{2} - 3 n - 998 \leq 0

Vi løser likningen $3 n^{2} - 3 n - 998 = 0$ med $a b c$ -formelen:

n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 3 \cdot 998}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{11985}}{6}

n = \frac{3 + \sqrt{11985}}{6} \approx \frac{3 + 109,5}{6} \approx 18,7

Siden $n$ må være et helt tall, er den største lovlige verdien $n = 18$ .

Vi sjekker:

F_{18} = 3 \cdot 18^{2} - 3 \cdot 18 + 2 = 3 \cdot 324 - 54 + 2 = 972 - 54 + 2 = 920

F_{19} = 3 \cdot 19^{2} - 3 \cdot 19 + 2 = 3 \cdot 361 - 57 + 2 = 1083 - 57 + 2 = 1028 > 1000

Antall klosser til overs:

1000 - 920 = 80

Snorre lager figur $F_{18}$ og har $80 klosser$ til overs.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 10 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Tallene på standardform

Oppgave 1-2·Regning med tall på standardform

Oppgave 1-3·Prosentandel jenter på skolen

Oppgave 1-4·Prisendring opp og ned med prosent

Oppgave 1-5·Halvering av pengebeløp med toerpotenser

Oppgave 1-6·Lineær modell for dyrebestand i utvikling

Oppgave 1-7·Sondres frekvenstabell med manglende tall

Oppgave 1-8·Eksponentiell modell for bilverdi

Oppgave 1-9·Gjennomsnitt og median fra klassedelt prøveresultat

Oppgave 1-10·Matche avstand-tid-grafer til bevegelsessituasjoner

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Sektordiagram for massemediebruk

Oppgave 2-2·Eiendomsverdi med årlig prosentvis økning

Oppgave 2-3·Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 2-4·Gjennomsnitt median og standardavvik for to klasser

Oppgave 2-5·Eksponentiell modell for virkestoff i blod

Oppgave 2-6·Serielån for hytte med regneark

Kolonner i regnearket

Oppsett av formler

Resultat

Oppgave 2-7·Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Temaer

Oppgave 1-1Tallene på standardform

Oppgave 1-2Regning med tall på standardform

Oppgave 1-3Prosentandel jenter på skolen

Oppgave 1-4Prisendring opp og ned med prosent

Oppgave 1-5Halvering av pengebeløp med toerpotenser

Oppgave 1-6Lineær modell for dyrebestand i utvikling

Oppgave 1-7Sondres frekvenstabell med manglende tall

Oppgave 1-8Eksponentiell modell for bilverdi

Oppgave 1-9Gjennomsnitt og median fra klassedelt prøveresultat

Oppgave 1-10Matche avstand-tid-grafer til bevegelsessituasjoner

Oppgave 2-1Sektordiagram for massemediebruk

Oppgave 2-2Eiendomsverdi med årlig prosentvis økning

Oppgave 2-3Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 2-4Gjennomsnitt median og standardavvik for to klasser

Oppgave 2-5Eksponentiell modell for virkestoff i blod

Oppgave 2-6Serielån for hytte med regneark

Oppgave 2-7Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn