Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser salg av energidrikker i Norge hvert år fra 2015 til 2021.

Årstall	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
Salg (tusen liter)	$18 899$	$21 664$	$25 381$	$31 385$	$41 142$	$55 497$	$67 997$

La $x$ være antall år etter 2015.

Krever PC

Lag en modell på formen

E (x) = a \cdot b^{x}

som passer godt med tallene i tabellen.

For hånd

Hva forteller tallene $a$ og $b$ i modellen du fant i oppgave a)?

I 2022 var salget av energidrikk 73 109 tusen liter.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor stor var økningen i salget av energidrikk i prosent fra 2021 til 2022? Vurder hvordan dette passer med modellen i oppgave a).

Fasit

$E (x) = 17 396 \cdot {1,248}^{x}$

$a \approx 17 396$ : modellens estimat for salget i 2015 (tusen liter). $b \approx 1,248$ : salget øker med ca. $24,8 %$ per år ifølge modellen.

Faktisk økning fra 2021 til 2022: $\approx 7,5 %$ . Modellen passer dårlig for 2022 — veksten har avtatt kraftig.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker eksponentiell regresjon med kommandoen RegEksp.

La $x$ = antall år etter 2015 og $y$ = salg i tusen liter.

Datapunktene er plottet som røde punkter i grafen under. GeoGebra gir regresjonsmodellen

𝐄 (𝐱) = 𝟏𝟕 𝟑𝟗𝟔 \cdot {𝟏,𝟐𝟒𝟖}^{𝐱}

Graf med datapunkter og regresjonsmodellen E(x)

Kurven passer godt med datapunktene fra 2015 til 2021 (se grafen).

$a \approx 17 396$ er modellens verdi for $E (0)$ , det vil si estimert salg i 2015: ca. $17 400$ tusen liter. (Det faktiske salget i 2015 var $18 899$ tusen liter — $a$ er altså et estimat, ikke den eksakte verdien.)
$b \approx 1,248$ er vekstfaktoren. Det betyr at salget ifølge modellen øker med ca. $24,8 %$ per år.

Vi beregner faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022:

\frac{73 109 - 67 997}{67 997} \cdot 100 % \approx \frac{5 112}{67 997} \cdot 100 % \approx 7,5 %

Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 var altså ca. $7,5 %$ .

Modellen vår anslår en vekst på ca. $24,8 %$ per år. Det er langt mer enn den faktiske veksten på $7,5 %$ .

Vi kan også sammenligne modellens spådom for 2022 ( $x = 7$ ) med det faktiske salget:

E (7) = 17 396 \cdot {1,248}^{7} \approx 82 000 tusen liter

Faktisk salg i 2022 var $73 109$ tusen liter (det grønne punktet P2022 i grafen). Modellen overestimerer altså salget i 2022 med ca. 9 000 tusen liter.

Modellen passer dårlig for 2022. Veksten i salget har avtatt betydelig — fra rundt $25 %$ per år (2015–2021) til bare $7,5 %$ fra 2021 til 2022. Den eksponentielle modellen er best egnet for perioden den er basert på (2015–2021), men overestimerer kraftig når veksten bremser opp.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som bruker en eksponentialfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, får 1 poeng.

En kandidat som ikke bruker en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

For å få full uttelling må kandidaten gi en praktisk tolkning av begge parameterne.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktige beregninger og 1 poeng for vurdering av svaret.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2023, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Eksponentiell vekst, Prosentvis vekst
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer