Eksakte sidelengder i firkant med CAS

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt $□ A B C D$ ovenfor. Lengden av diagonalen $B D = 8$ .

Bruk CAS til å bestemme lengdene av sidene i firkanten eksakt.

Fasit

$A B = 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}, B C = 4, C D = 4 \sqrt{3}, A D = 8 \sqrt{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen $B D$ deler firkanten $A B C D$ i to trekanter: $△ A B D$ og $△ B C D$ . Vi finner sidene i hver trekant med sinussetningen.

Trekant $B C D$

Trekanten har en rett vinkel i $C$ , altså $∠ C = 90 °$ , og $∠ B D C = 30 °$ (vinkelen ved $D$ , mellom $D C$ og diagonalen $D B$ ). Vinkelsummen gir

∠ D B C = 180 ° - 90 ° - 30 ° = 60 °

Hypotenusen $B D = 8$ ligger motsatt den rette vinkelen $C$ . Sinussetningen gir

B C = \frac{B D \cdot \sin (∠ B D C)}{\sin (∠ C)} = \frac{8 \cdot \sin (30 °)}{\sin (90 °)} = 4

C D = \frac{B D \cdot \sin (∠ D B C)}{\sin (∠ C)} = \frac{8 \cdot \sin (60 °)}{\sin (90 °)} = 4 \sqrt{3}

Trekant $A B D$

Vinkelen ved $A$ er $∠ A = 30 °$ , og vinkelen ved $B$ mellom diagonalen $B D$ og siden $B A$ er $∠ A B D = 45 °$ . Vinkelsummen gir

∠ A D B = 180 ° - 30 ° - 45 ° = 105 °

Siden $B D = 8$ ligger motsatt $∠ A$ , gir sinussetningen

\frac{A D}{\sin (∠ A B D)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)} = \frac{B D}{\sin (∠ A)}

A D = \frac{B D \cdot \sin (∠ A B D)}{\sin (∠ A)} = \frac{8 \cdot \sin (45 °)}{\sin (30 °)} = 8 \sqrt{2}

A B = \frac{B D \cdot \sin (∠ A D B)}{\sin (∠ A)} = \frac{8 \cdot \sin (105 °)}{\sin (30 °)} = 16 \sin (105 °) = 4 (\sqrt{6} + \sqrt{2})

Vi kontrollerer utregningene i CAS:

CAS-utregning av sidelengdene

Sidene i firkanten $A B C D$ er dermed

A B = 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}, B C = 4, C D = 4 \sqrt{3}, D A = 8 \sqrt{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Dersom CAS ikke er brukt, gis maksimalt 2,5 poeng for hele oppgave 2.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2015, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Trigonometri, CAS

Eksakte sidelengder i firkant med CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksakte sidelengder i firkant med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksakte sidelengder i firkant med CAS

Eksakte sidelengder i firkant med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer