Eksakt areal av firkant med CAS og trigonometri

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt firkanten $A B C D$ ovenfor. $A B = 2 \sqrt{5}$ , $B D = 5 \sqrt{2}$ og $C D = 3$ .

Bruk CAS til å bestemme arealet av firkanten eksakt.

Fasit

$T = \frac{45}{2} = 22,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler firkanten $A B C D$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $B D$ : trekant $A B D$ og trekant $B D C$ .

Trekant $A B D$ . Her kjenner vi $A B = 2 \sqrt{5}$ , $B D = 5 \sqrt{2}$ og vinkelen $A = 45 °$ . Siden $A D$ er ukjent, kan vi ikke bruke arealformelen direkte — vi må først finne $A D$ med cosinussetningen, siden $B D$ er siden motstående vinkel $A$ :

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos A

{(5 \sqrt{2})}^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2} + A D^{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot A D \cdot \cos 45 °

Dette gir en andregradslikning i $A D$ . Vi løser den i CAS.

Trekant $B D C$ . Her kjenner vi $B D = 5 \sqrt{2}$ , $C D = 3$ og vinkelen $D = 45 °$ (vinkelen $B D C$ , som ligger mellom sidene $B D$ og $D C$ ). Da kan arealet regnes direkte med arealsetningen:

T_{B D C} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot C D \cdot \sin D

Alt regnes ut i CAS:

Fra CAS-utklippet ser vi at likningen for $A D$ har to løsninger, $A D = - \sqrt{10}$ og $A D = 3 \sqrt{10}$ . Siden $A D$ er en lengde, forkaster vi den negative løsningen: $A D = 3 \sqrt{10}$ .

Da kan vi finne arealet av trekant $A B D$ med arealsetningen:

T_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{10} \cdot \sin 45 ° = 15

og arealet av trekant $B D C$ :

T_{B D C} = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sin 45 ° = \frac{15}{2}

Totalarealet av firkanten $A B C D$ er summen av de to trekantarealene:

T = T_{A B D} + T_{B D C} = 15 + \frac{15}{2} = \frac{45}{2}

Dette stemmer med arealtotal i CAS-utklippet.

Svar: Arealet av firkanten $A B C D$ er $T = \frac{45}{2} = 22,5$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Dersom CAS ikke er brukt, gis maksimalt 2 poeng.
Elever som ikke har funnet eksakte verdier, får maksimalt 3 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2016, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Trigonometri, CAS, Arealsetningen, Cosinussetningen

Eksakt areal av firkant med CAS og trigonometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksakt areal av firkant med CAS og trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksakt areal av firkant med CAS og trigonometri

Eksakt areal av firkant med CAS og trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer