Vi tegner grafen til

For å bestemme perioden sjekker vi om $2\pi$ er en periode:

så $2\pi$ er en periode. Vi sjekker om en mindre periode, for eksempel $\pi$, også virker:

Dette stemmer ikke for alle $x$ (kun der $\sin x=0$), så $\pi$ er ikke en periode. Grafen bekrefter dette — mønsteret gjentar seg først etter $2\pi \approx \mathrm{6,28}$ (toppunktene ligger ved $x\approx \mathrm{1,05}$ og $x\approx \mathrm{7,33}$, en avstand på $2\pi$).

Perioden er $\underline{\underline{2\pi }}$.

Vi faktoriserer $f(x)$:

Nullpunkter når $\sin x=0$ eller $\cos x=-1$.

$\sin x=0$ gir $x=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi$, men $x=0$ og $x=4\pi$ ligger utenfor det åpne intervallet $⟨0,4\pi ⟩$. Dette gir $x=\pi ,2\pi ,3\pi$.

$\cos x=-1$ gir $x=\pi ,3\pi$ i intervallet — disse er allerede med.

Nullpunktene til $f$ i $⟨0,4\pi ⟩$ er $\underline{\underline{x=\pi ,2\pi ,3\pi }}$.

Vi deriverer med produktregel på $2\sin x\cdot \cos x$:

Vi bruker ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

som stemmer med det oppgitte uttrykket. Dette er verifisert i CAS (linje 2, skjermbilde under).

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi $f^{\prime }(x)=0$. Vi setter $u=\cos x$:

som gir $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ eller $\cos x=-1$.

I intervallet $⟨0,4\pi ⟩$ gir dette

Siden $\cos x+1\ge 0$ for alle $x$, og bare er $0$ i de isolerte punktene $x=\pi ,3\pi$, skifter ikke $f^{\prime }(x)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)$ fortegn der — $x=\pi$ og $x=3\pi$ er terrassepunkt, ikke ekstremalpunkter (dette stemmer med at de også er vendepunkt, se d)).

De reelle ekstremalpunktene er der $\cos x=\frac{1}{2}$. Vi klassifiserer med $f^{\prime \prime }(x)$ (se d):

• $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$: $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)<0\Rightarrow$ toppunkt
• $x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$: $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\right)>0\Rightarrow$ bunnpunkt
• $x={\displaystyle \frac{7\pi }{3}}$: samme som ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ (periode $2\pi$) $\Rightarrow$ toppunkt
• $x={\displaystyle \frac{11\pi }{3}}$: samme som ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\Rightarrow$ bunnpunkt

Vi regner ut funksjonsverdiene med $f(x)=2\sin x(1+\cos x)$:

Toppunkt: $\underline{\underline{(\frac{\pi }{3},\frac{3\sqrt{3}}{2})}}$ og $\underline{\underline{(\frac{7\pi }{3},\frac{3\sqrt{3}}{2})}}$ Bunnpunkt: $\underline{\underline{(\frac{5\pi }{3},-\frac{3\sqrt{3}}{2})}}$ og $\underline{\underline{(\frac{11\pi }{3},-\frac{3\sqrt{3}}{2})}}$

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=4{\cos }^{2}x+2\cos x-2$:

Dette stemmer med CAS (linje 3 i skjermbildet over).

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$ i $⟨0,2\pi ⟩$: $\sin x=0$ gir $x=\pi$ (endepunktene $0$ og $2\pi$ er ikke med), og $\cos x=-\frac{1}{4}$ gir

En fortegnsdrøfting av $f^{\prime \prime }(x)$ viser fortegnsskifte i alle tre punktene, så alle er vendepunkt. Funksjonsverdiene:

Ved symmetri (siden $\sin$ er negativ på den andre grenen) blir $f(2\pi -\arccos (-\frac{1}{4}))=-\frac{3\sqrt{15}}{8}\approx -\mathrm{1,45}$.

Vendepunkt: $\underline{\underline{(\arccos (-\frac{1}{4}),\frac{3\sqrt{15}}{8})}}\approx (\mathrm{1,82},\mathrm{1,45})$, $\underline{\underline{(\pi ,0)}}$ og $\underline{\underline{(2\pi -\arccos (-\frac{1}{4}),-\frac{3\sqrt{15}}{8})}}\approx (\mathrm{4,46},-\mathrm{1,45})$

Fra grafen ser vi at $f(x)\ge 0$ for $x\in [0,\pi ]$ (nullpunkt kun i endepunktet $x=\pi$), så arealet er gitt direkte ved det bestemte integralet, uten behov for tallverdi (absoluttverdi):

Vi finner antiderivert: $\int 2\sin x\mathrm{d}x=-2\cos x$, og siden $2\sin x\cos x=\sin 2x$: $\int \sin 2x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\cos 2x$. Dermed

Dette er bekreftet med CAS (linje 5 i skjermbildet over: Integral(f,x,0,pi) → 4).

Arealet av flatestykket er $\underline{\underline{A=4\text{ a.e.}}}$