Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Finn den generelle løsningen til differensiallikningen

y^{'} - 2 y = 5

der $y$ er en funksjon av $x$ .

1. Bestem konstanten i den generelle løsningen når du får vite at $y (0) = 2$ .

2. Bestem $x$ når $y = \frac{49}{2}$ . (Du kan få bruk for at $\ln 6 \approx 1,8$ )

Grafen til $y$ har en tangent i punktet $(0, 2)$ .

Finn likningen for denne tangenten.

Fasit

$y = C e^{2 x} - \frac{5}{2}$

$C = \frac{9}{2}$ , $x \approx 0,9$

$y = 9 x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal løse differensiallikningen $y^{'} - 2 y = 5$ .

Homogen løsning: Vi løser først den homogene likningen $y^{'} - 2 y = 0$ , som gir $y_{h} = C e^{2 x}$ .

Partikulær løsning: Siden høyresiden er en konstant, prøver vi med en konstant løsning $y_{p} = k$ . Da er $y_{p}^{'} = 0$ , og innsatt i likningen får vi

0 - 2 k = 5 \Rightarrow k = - \frac{5}{2}

Generell løsning: Summen av homogen og partikulær løsning gir

y = C e^{2 x} - \frac{5}{2}

1. Vi setter inn startbetingelsen $y (0) = 2$ i den generelle løsningen:

2 = C e^{2 \cdot 0} - \frac{5}{2} = C - \frac{5}{2}

C = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}

Løsningen er dermed $y = \frac{9}{2} e^{2 x} - \frac{5}{2}$ .

2. Vi setter $y = \frac{49}{2}$ og løser for $x$ :

\frac{49}{2} = \frac{9}{2} e^{2 x} - \frac{5}{2}

\frac{49}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} e^{2 x}

\frac{54}{2} = \frac{9}{2} e^{2 x}

27 = \frac{9}{2} e^{2 x} \Rightarrow e^{2 x} = \frac{27 \cdot 2}{9} = 6

Vi tar $\ln$ på begge sider:

2 x = \ln 6

x = \frac{\ln 6}{2} \approx \frac{1,8}{2} = 0,9

Tangenten til grafen i punktet $(0,2)$ har stigningstall lik $y^{'} (0)$ . Fra differensiallikningen $y^{'} = 2 y + 5$ finner vi stigningstallet direkte ved å sette inn $y (0) = 2$ :

y^{'} (0) = 2 \cdot 2 + 5 = 9

Tangenten går gjennom $(0,2)$ med stigningstall $9$ , så likningen for tangenten er

y = 9 (x - 0) + 2 = 9 x + 2

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Likningen kan løses ved bruk av integrerende faktor eller ved å gjøre den om til en separabel differensiallikning.

Her er det enklest å bruke «ettpunktsformelen». Stigningstallet er $y^{'}$ som vi finner ved å sette $y = 2$ inn i differensiallikningen i a).

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2011, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Logaritmer

Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Lov på eksamen

Temaer