Differensiallikning med startbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

y^{'} - 2 y = x, y (0) = 1

Løs differensiallikningen.

Bestem likningen for tangenten til grafen til $y$ i punktet $(0, 1)$ .

Fasit

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4} e^{2 x}$

$y = 2 x + 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver differensiallikningen på formen $y^{'} + p (x) y = q (x)$ :

y^{'} - 2 y = x

Her er $p (x) = - 2$ . Den integrerende faktoren er

I (x) = e^{\int - 2 d x} = e^{- 2 x}

Vi multipliserer likningen med $I (x)$ :

e^{- 2 x} y^{'} - 2 e^{- 2 x} y = x e^{- 2 x}

Venstre side er den deriverte av $e^{- 2 x} y$ :

{(e^{- 2 x} y)}^{'} = x e^{- 2 x}

Vi integrerer begge sider. Høyre side integreres med delvis integrasjon:

\int x e^{- 2 x} d x = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C

Dette gir

e^{- 2 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C

Vi multipliserer med $e^{2 x}$ :

y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + C e^{2 x}

Vi bruker startbetingelsen $y (0) = 1$ :

1 = - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{5}{4}

y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4} e^{2 x}

Vi finner $y^{'} (0)$ direkte fra differensiallikningen $y^{'} = 2 y + x$ . Ved $x = 0$ er $y (0) = 1$ , så

y^{'} (0) = 2 \cdot 1 + 0 = 2

Tangenten i punktet $(0, 1)$ har stigningstall $2$ og går gjennom $(0,1)$ :

y = 2 x + 1

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Innstillinger