Numerisk kontroll av de to kvadratene i figuren

Det røde kvadratet har tallene $12,13,17,18$:

Det blå kvadratet har tallene $4,5,9,10$:

Begge kvadratene gir differansen $5$, akkurat som jentene fant.

Flere kvadrater i rutetabellen

Prøver vi flere $2\times 2$-kvadrater andre steder i rutetabellen, for eksempel $1,2,6,7$, får vi

Det stemmer altså også her. Det tyder på at differansen alltid er $5$, uansett hvor i rutetabellen vi velger et $2\times 2$-kvadrat.

Generell bevis med algebra

Rutetabellen har $5$ tall i hver rad. Det betyr at tallet rett under et tall $n$, er $5$ mer enn $n$, altså $n+5$.

Vi kaller det øverste, venstre tallet i et vilkårlig $2\times 2$-kvadrat for $n$. Tallet til høyre for $n$ er da $n+1$. Tallet rett under $n$ er $n+5$, og tallet i det siste hjørnet, diagonalt fra $n$, er dermed $n+6$. De fire tallene i kvadratet er altså $n$, $n+1$ (øverste rad) og $n+5$, $n+6$ (nederste rad).

Diagonalproduktene blir

Differansen mellom det største og det minste produktet blir

Leddene $n^2$ og $6n$ kansellerer hverandre, og igjen står bare tallet $5$. Dette viser at differansen er $5$ uansett hvilket tall $n$ er, altså uansett hvor i rutetabellen kvadratet ligger.

Utvidelse — hva om kvadratet er større, eller rutetabellen er bredere?

Sammenhengen kan generaliseres videre. I en rutetabell med $k$ tall per rad (her er $k=5$), blir differansen for et $2\times 2$-kvadrat lik $k$.

For et $3\times 3$-kvadrat i denne rutetabellen (med $5$ tall per rad) blir differansen mellom hjørneproduktene $2\cdot 5\cdot 2=20$. Vi kan sjekke dette med et eksempel fra figuren, kvadratet med hjørnene $1,3,11,13$:

Det stemmer med det generelle mønsteret.

Andre gode utforskninger og algebraiske generaliseringer av mønsteret gir også full uttelling.