Vi bruker kjerneregelen. Kjernen er $u=\ln x+1$, med $u^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1) Vi setter $x=\pi$ inn i $f(x)=x\cos x$:

Siden $-\pi <0$, ligger grafen under $x$-aksen når $x=\pi$.

2) Vi deriverer $f(x)=x\cos x$ med produktregelen:

Vi setter inn $x=\pi$:

Siden $f^{\prime }(\pi )=-1<0$, synker grafen når $x=\pi$.

Rekka $2+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{27}}+\cdots$ er geometrisk med $a_1=2$ og kvotient

Siden $|k|<1$ konvergerer rekka, og summen blir

Vi finner vektorene ut fra punktene $A(\mathrm{2,3,7})$, $B(\mathrm{3,5,2})$, $C(\mathrm{1,1,5})$, $D(\mathrm{3,5},t)$:

1) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er null:

2) To vektorer er parallelle når den ene er et tall ganger den andre. Vi sammenligner $x$- og $y$-komponentene i $\overrightarrow{CD}=(2,4,t-5)$ med $\overrightarrow{AB}=(1,2,-5)$:

Begge komponentene gir $k=2$, så vektorene kan være parallelle. Vi bruker $k=2$ på $z$-komponenten:

Det finnes altså en verdi, $t=-5$, slik at $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}$.

Differensiallikningen $y^{\prime }+4xy=0$ er separabel:

Vi integrerer på begge sider:

Vi bruker initialbetingelsen $y(0)=5$:

Løsningen blir

1) Vi bruker delvis integrasjon på $\int x\cdot \sin (2x)\mathrm{d}x$ med $u=x$ og $v^{\prime }=\sin (2x)$:

2) Vi faktoriserer nevneren og bruker delbrøkoppspalting:

Setter $x=2$: $4=4A\Rightarrow A=1$. Setter $x=-2$: $4=-4B\Rightarrow B=-1$. Dermed