Derivasjon, rekker, terning og kilopris på frukt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

g (x) = x^{2} \cdot e^{2 x}

Gitt rekka $2 + 4 + 6 + 8 + \dots$ Finn ledd nummer $20$ og summen av de $20$ første leddene.

Gitt den uendelige rekka $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ Avgjør om rekka konvergerer. Finn eventuelt summen.

Vi har en spesiell terning. På tre av sidene står tallet $7$ , på to av sidene står tallet $5$ , og på den siste siden står tallet $- 1$ . La den stokastiske variabelen $X$ være tallet som vises når vi kaster terningen én gang.

Sett opp en sannsynlighetsfordeling for $X$ .

Bestem forventningsverdi og varians for $X$ .

Tre venner handlet frukt. Kari kjøpte 2 kg epler, 3 kg pærer og 1 kg appelsiner. Hun betalte 81 kroner. Per kjøpte 1 kg epler, 2 kg pærer og 3 kg appelsiner. Han betalte 71 kroner. Lise kjøpte 1 kg av hver av fruktsortene. Hun måtte betale 37 kroner. Sett opp et likningssett, og finn kiloprisen for epler, pærer og appelsiner.

Grafen til en polynomfunksjon $f$ av tredje grad skjærer $x$ -aksen i $x_{1} = - 1$ , i $x_{2} = 1$ og i $x_{3} = 3$ og $y$ -aksen i $y = 6$ . Bestem funksjonsuttrykket $f (x)$ .

Fasit

1) $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ 2) $g^{'} (x) = (2 x + 2 x^{2}) e^{2 x}$

1) $a_{20} = 40$ , $s_{20} = 420$ 2) Konvergerer, $s = 4$

$E (X) = 5$ , $Var (X) = 8$

Epler $12 k r / k g$ , pærer $16 k r / k g$ , appelsiner $9 k r / k g$

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen på $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$ , med $u (x) = x^{2} - 1$ og $v (x) = x^{2} + 1$ :

\begin{matrix} f^{'} (x) & = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) \\ = 2 x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 1) \cdot 2 x \\ = 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x \\ = 4 x^{3} \end{matrix}

$f^{'} (x) = 4 x^{3}$

Vi bruker produktregelen og kjerneregelen på $g (x) = x^{2} \cdot e^{2 x}$ :

\begin{matrix} g^{'} (x) & = 2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x} \\ = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} \\ = (2 x + 2 x^{2}) e^{2 x} \end{matrix}

$g^{'} (x) = (2 x + 2 x^{2}) e^{2 x}$

Rekka $2 + 4 + 6 + 8 + \dots$ er aritmetisk med $a_{1} = 2$ og $d = 2$ . Da er

a_{20} = a_{1} + (20 - 1) \cdot d = 2 + 19 \cdot 2 = 40

s_{20} = \frac{a_{1} + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{2 + 40}{2} \cdot 20 = 420

$a_{20} = 40, s_{20} = 420$

Rekka $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ er geometrisk med $a_{1} = 2$ og $k = \frac{1}{2}$ . Siden $| k | < 1$ , konvergerer rekka, og summen blir

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

$s = 4$

Terningen har $3$ sider med $7$ , $2$ sider med $5$ og $1$ side med $- 1$ , av totalt $6$ sider.

Sannsynlighetsfordelingen blir

$x$ $- 1$ $5$ $7$
$P (X = x)$ $\frac{1}{6}$ $\frac{2}{6}$ $\frac{3}{6}$
Forventningsverdien er

$x$	$- 1$	$5$	$7$
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{3}{6}$

E (X) = (- 1) \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{2}{6} + 7 \cdot \frac{3}{6} = \frac{- 1 + 10 + 21}{6} = \frac{30}{6} = 5

Vi finner $E (X^{2})$ for å regne ut variansen:

E (X^{2}) = {(- 1)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + 5^{2} \cdot \frac{2}{6} + 7^{2} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1 + 50 + 147}{6} = \frac{198}{6} = 33

Var (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2} = 33 - 5^{2} = 8

$E (X) = 5, Var (X) = 8$

La $e$ , $p$ og $a$ være kiloprisen i kroner for henholdsvis epler, pærer og appelsiner. Da gir opplysningene likningssettet

\begin{matrix} 2 e + 3 p + a & = 81 (1) \\ e + 2 p + 3 a & = 71 (2) \\ e + p + a & = 37 (3) \end{matrix}

Fra $(3)$ får vi $e = 37 - p - a$ . Vi setter dette inn i $(1)$ og $(2)$ :

\begin{matrix} 2 (37 - p - a) + 3 p + a & = 81 \\ 74 + p - a & = 81 \\ p - a & = 7 (4) \end{matrix}

\begin{matrix} (37 - p - a) + 2 p + 3 a & = 71 \\ 37 + p + 2 a & = 71 \\ p + 2 a & = 34 (5) \end{matrix}

Fra $(4)$ er $p = a + 7$ . Setter vi dette inn i $(5)$ :

\begin{matrix} (a + 7) + 2 a & = 34 \\ 3 a & = 27 \\ a & = 9 \end{matrix}

Da er $p = 9 + 7 = 16$ og $e = 37 - 16 - 9 = 12$ .

Kontroll i $(1)$ : $2 \cdot 12 + 3 \cdot 16 + 9 = 24 + 48 + 9 = 81$ ✓

Epler koster $12 k r / k g$ , pærer $16 k r / k g$ og appelsiner $9 k r / k g$ .

Siden grafen til $f$ skjærer $x$ -aksen i $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ og $x_{3} = 3$ , kan vi skrive

f (x) = a (x + 1) (x - 1) (x - 3)

Grafen skjærer $y$ -aksen i $y = 6$ , altså $f (0) = 6$ :

\begin{matrix} f (0) & = a (0 + 1) (0 - 1) (0 - 3) \\ 6 & = a \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot (- 3) \\ 6 & = 3 a \\ a & = 2 \end{matrix}

Vi setter $a = 2$ inn og multipliserer ut:

\begin{matrix} f (x) & = 2 (x + 1) (x - 1) (x - 3) \\ = 2 (x^{2} - 1) (x - 3) \\ = 2 (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) \\ = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 6 \end{matrix}

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 6$

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2009, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Derivasjon, Rekker, Forventningsverdi, Likningssystem

Derivasjon, rekker, terning og kilopris på frukt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon, rekker, terning og kilopris på frukt

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon, rekker, terning og kilopris på frukt

Derivasjon, rekker, terning og kilopris på frukt

Lov på eksamen

Temaer