Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x \cdot e^{x}

g (x) = 2 \sin 2 x

h (x) = 2 \sin^{2} x

Bestem integralene

\int x \cdot \cos x d x

\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x

\int \sin x \cdot \cos^{3} x d x

Vi har gitt rekken

1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1)

Skriv opp $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og bestem $S_{100}$

Vi har gitt rekken

1 + 7 + 19 + 37 + \dots

Skriv opp $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og bestem $S_{100}$

Grafen til en trigonometrisk funksjon av typen $f (x) = a \cdot \sin (c x + φ) + d$ er gitt nedenfor.

Graf

Bruk grafen til å bestemme amplituden, perioden og likevektslinjen til funksjonen.

Bestem et funksjonsuttrykk for $f (x)$ .

Løs differensiallikningen

y^{'} - 3 y = 5 når y (0) = 2

Vi har gitt punktene $A (1, 0, 1)$ , $B (2, 1, 3)$ og $C (7, 3, 5)$

Bestem $\vec{A B} \times \vec{A C}$

Vis ved regning at $(\vec{A B} \times \vec{A C}) ⟂ \vec{A B}$ og $(\vec{A B} \times \vec{A C}) ⟂ \vec{A C}$

Fasit

1) $f^{'} (x) = e^{x} (1 + x)$ 2) $g^{'} (x) = 4 \cos 2 x$ 3) $h^{'} (x) = 2 \sin 2 x$

1) $x \sin x + \cos x + C$ 2) $\ln | \frac{x - 2}{x + 2} | + C$ 3) $- \frac{1}{4} \cos^{4} x + C$

$S_{1} = 1, S_{2} = 4, S_{3} = 9, S_{4} = 16, S_{100} = 10 000$

$S_{1} = 1, S_{2} = 8, S_{3} = 27, S_{4} = 64, S_{100} = 1 000 000$

1) Amplitude $= 2$ , periode $= 2 π$ , likevektslinje $y = 3$ 2) $f (x) = 2 \sin (x + 1) + 3$

$y = \frac{11}{3} e^{3 x} - \frac{5}{3}$

1) $\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 2, 8, - 3)$ 2) Begge skalarprodukt er $0$ , dermed er vinkelrettheten vist.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen på $f (x) = x \cdot e^{x}$ :

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x)

Vi bruker kjerneregelen på $g (x) = 2 \sin 2 x$ med indre funksjon $2 x$ :

g^{'} (x) = 2 \cdot \cos (2 x) \cdot 2 = 4 \cos 2 x

Vi bruker kjerneregelen på $h (x) = 2 \sin^{2} x$ :

h^{'} (x) = 2 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 4 \sin x \cos x = 2 \sin 2 x

Vi bruker delvis integrasjon med $u = x$ , $v^{'} = \cos x$ , som gir $u^{'} = 1$ , $v = \sin x$ :

\int x \cos x d x = x \sin x - \int \sin x d x = x \sin x - (- \cos x) + C

\int x \cos x d x = x \sin x + \cos x + C

Vi faktoriserer nevneren, $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , og skriver om med partialbrøkoppspalting:

\frac{4}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

4 = A (x + 2) + B (x - 2)

Setter $x = 2$ : $4 = 4 A \Rightarrow A = 1$ . Setter $x = - 2$ : $4 = - 4 B \Rightarrow B = - 1$ . Dette gir

\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x = \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) d x = \ln | x - 2 | - \ln | x + 2 | + C

\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x = \ln | \frac{x - 2}{x + 2} | + C

Vi substituerer $u = \cos x$ , som gir $d u = - \sin x d x$ :

\int \sin x \cdot \cos^{3} x d x = - \int u^{3} d u = - \frac{u^{4}}{4} + C

\int \sin x \cos^{3} x d x = - \frac{1}{4} \cos^{4} x + C

Vi regner ut delsummene direkte:

S_{1} = 1, S_{2} = 1 + 3 = 4, S_{3} = 1 + 3 + 5 = 9, S_{4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Vi kjenner mønsteret $1, 4, 9, 16, \dots$ igjen som kvadrattallene, altså $S_{n} = n^{2}$ . Dette kan også vises ved at rekken er aritmetisk med $a_{1} = 1$ og $d = 2$ , slik at $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 1$ , og

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{1 + (2 n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2 n}{2} \cdot n = n^{2}

S_{100} = 100^{2} = 10 000

Vi regner ut delsummene direkte:

S_{1} = 1, S_{2} = 1 + 7 = 8, S_{3} = 1 + 7 + 19 = 27, S_{4} = 1 + 7 + 19 + 37 = 64

Vi kjenner igjen mønsteret $1, 8, 27, 64, \dots$ som kubikktallene, altså $S_{n} = n^{3}$ . (Dette kan bekreftes ved å finne leddformelen: differansene mellom leddene er $6, 12, 18, \dots$ , som gir $a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ , og summen av disse leddene fra $1$ til $n$ blir nettopp $n^{3}$ .)

S_{100} = 100^{3} = 1 000 000

Av grafen leser vi av toppunkt $y_{\max} = 5$ og bunnpunkt $y_{\min} = 1$ . Dette gir

Amplitude: a = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2

Likevektslinje: d = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3

Grafen har toppunkt for $x \approx 0,6$ og neste toppunkt for $x \approx 6,9$ . Bunnpunktene ligger ved $x \approx 3,7$ og $x \approx 10$ , som gir samme avstand. Altså

Periode: T \approx 6,9 - 0,6 = 6,3 \approx 2 π

Fra perioden finner vi $c$ :

c = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{2 π} = 1

Funksjonen har toppunkt (maksimum) ved $x \approx 0,6$ , det vil si der $c x + φ = \frac{π}{2}$ :

0,6 + φ = \frac{π}{2} \Rightarrow φ = \frac{π}{2} - 0,6 \approx 1

f (x) = 2 \sin (x + 1) + 3

Vi kontrollerer mot grafen: toppunkt ved $x = \frac{π}{2} - 1 \approx 0,57$ , bunnpunkt ved $x = \frac{3 π}{2} - 1 \approx 3,71$ , neste toppunkt ved $x \approx 6,85$ og neste bunnpunkt ved $x \approx 10,00$ . Dette stemmer med avlesningen.

Vi løser $y^{'} - 3 y = 5$ med integrerende faktor $e^{- 3 x}$ :

{(e^{- 3 x} \cdot y)}^{'} = e^{- 3 x} (y^{'} - 3 y) = 5 e^{- 3 x}

Integrerer på begge sider:

e^{- 3 x} \cdot y = \int 5 e^{- 3 x} d x = - \frac{5}{3} e^{- 3 x} + C

y = - \frac{5}{3} + C \cdot e^{3 x}

Setter inn $y (0) = 2$ :

2 = - \frac{5}{3} + C \Rightarrow C = 2 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}

y = \frac{11}{3} e^{3 x} - \frac{5}{3}

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (1, 1, 2), \vec{A C} = C - A = (6, 3, 4)

Kryssproduktet:

\vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{matrix} 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 6 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 8 \\ - 3 \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 2, 8, - 3)

Vi kontrollerer at kryssproduktet står vinkelrett på begge faktorene ved å regne ut skalarproduktene:

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A B} = (- 2) \cdot 1 + 8 \cdot 1 + (- 3) \cdot 2 = - 2 + 8 - 6 = 0

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A C} = (- 2) \cdot 6 + 8 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 = - 12 + 24 - 12 = 0

Begge skalarprodukt er $0$ , så $(\vec{A B} \times \vec{A C}) ⟂ \vec{A B}$ og $(\vec{A B} \times \vec{A C}) ⟂ \vec{A C}$ , som vi skulle vise.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 24 poeng

2) Svar som inneholder absoluttverditegn ved logaritmen teller positivt i helhetsvurderingen.

Eksaminander som bruker egenskapen $S_{n} = n^{2}$ for å finne $S_{100}$ , gis full uttelling. Eksaminander som i tillegg anvender aritmetisk rekke for å finne $S_{100}$ , gis et bonustillegg.

Det er tilstrekkelig å bruke egenskapen $S_{n} = n^{3}$ for å finne $S_{100}$ .

2) Uttrykket for $f (x)$ kan bare finnes tilnærmet. Her må sensor akseptere et betydelig slingringsmonn ved bestemmelse av tallene $c$ og $φ$ (og perioden).

1) Kandidater som bare finner de to vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ gis noe uttelling.
2) Utregning kreves. Det er ikke nok å henvise til generelle egenskaper for kryssprodukt.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2011, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Rekker, Trigonometri, Differensiallikning, Vektorer

Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Lov på eksamen

Temaer