Vi bruker kjerneregelen på $f(x)=3\sin (2x)$, med ytre funksjon $\sin$ og indre funksjon $2x$:

Vi bruker produktregelen på $g(x)=x^2\cdot \sin x$, med $u=x^2$ og $v=\sin x$:

Vi bruker kjerneregelen på $k(x)=5\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{12}}x-2)+7$, med indre funksjon ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}x-2$:

Vi bruker delvis integrasjon på $\int x\cdot e^{2x}\mathrm{d}x$. Vi setter

Formelen for delvis integrasjon gir

Vi ser at telleren $2x$ er den deriverte av nevneren $x^2-4$. Da kan vi bruke substitusjonen $u=x^2-4$, $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$:

Vi setter inn grensene:

Siden $\ln 9=\ln 3^2=2\ln 3$, har vi vist at

Vi løser den lineære differensiallikningen $y^{\prime }-2y=3$.

Homogen løsning: Likningen $y^{\prime }-2y=0$ har løsningen $y_h=C\cdot e^{2x}$.

Partikulær løsning: Siden høyresiden er konstant, prøver vi $y_p=A$ (konstant). Da er $y_p^{\prime }=0$, og innsatt i likningen:

Generell løsning:

Vi bruker startbetingelsen $y(0)=8$:

Rekken $1+e^{-x}+e^{-2x}+\cdots$ har kvotient

mellom hvert ledd og hvert ledd før, altså er rekken geometrisk. For $x>0$ er $-x<0$, slik at

Dermed er $|k|<1$, og rekken konvergerer.

Summen av en konvergerende geometrisk rekke er $s={\displaystyle \frac{a_1}{1-k}}$, med $a_1=1$ og $k=e^{-x}$:

Vi utvider brøken med $e^x$:

Dermed har vi vist at