Funksjonen $f(x)=12e^{-\mathrm{0,5}x}\cdot \sin (\mathrm{0,5}x)$ er en dempet svingning: amplituden $12e^{-\mathrm{0,5}x}$ avtar mot $0$ når $x$ øker, mens $\sin (\mathrm{0,5}x)$ gir svingningen. Grafen er tegnet i GeoGebra på intervallet $[0,4\pi ]$:

Grafen starter i $(\mathrm{0,0})$, stiger til et toppunkt, avtar og krysser $x$-aksen ved $x=2\pi$, går ned til et bunnpunkt, og nærmer seg $x$-aksen igjen mot $x=4\pi$.

Topp- og bunnpunkter finner vi der $f^{\prime }(x)=0$. Vi deriverer med produktregelen:

Siden $e^{-\mathrm{0,5}x}\ne 0$ for alle $x$, setter vi parentesen lik null:

I intervallet $[0,4\pi ]$ gir dette $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ og $x={\displaystyle \frac{5\pi }{2}}$ (neste løsning, $x={\displaystyle \frac{9\pi }{2}}$, ligger utenfor intervallet).

CAS bekrefter funksjonsverdiene i disse punktene:

Fortegnsskiftet til $f^{\prime }$ (fra positiv til negativ ved $x=\frac{\pi }{2}$, og fra negativ til positiv ved $x=\frac{5\pi }{2}$, som også ses på grafen i a)) viser at

Vi finner først hvor $f$ krysser $x$-aksen på $[0,4\pi ]$:

Grafen ligger over $x$-aksen på $⟨0,2\pi ⟩$ og under $x$-aksen på $⟨2\pi ,4\pi ⟩$ (se grafen i a)). Arealet blir dermed

En antiderivert til $f$ (funnet med formelen $\int e^{ax}\sin (bx)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{e^{ax}(a\sin (bx)-b\cos (bx))}{a^2+b^2}}$ med $a=-\mathrm{0,5}$, $b=\mathrm{0,5}$) er

Dette gir

GeoGebra bekrefter begge integralene numerisk:

$\underline{\underline{A\approx \mathrm{13,06}}}$