For å kunne forutsi hvordan en pandemi kan utvikle seg, er R-tallet viktig. Dette tallet sier hvor mange personer en smittet person i gjennomsnitt vil smitte videre.

I resten av denne oppgaven tar vi utgangspunkt i sykdommen covid-19. Vi går ut fra at smitteperioden er 1 uke. Dersom $R$-tallet er $1{,}2$, så vil 100 personer som har covid-19-smitte, smitte $100 \cdot 1{,}2 = 120$ nye personer i løpet av en uke. Etter én uke vil det være 220 personer som har eller har hatt sykdommen, siden

$$100 + 100 \cdot 1{,}2 = 100 + 120 = 220$$

Den neste uken vil de 120 som ble smittet uken før, smitte $120 \cdot 1{,}2 = 100 \cdot 1{,}2^2$ nye personer.

Til en by som ikke har covid-19-smitte, kommer det 20 personer som er smittet. Dette blir ikke oppdaget, så $R$-tallet holder seg konstant i mange uker.

a)

Forklar at antallet som har eller har hatt covid-19 etter $n$ uker, kan beskrives med den geometriske rekken

$$20 + 20 \cdot R + 20 \cdot R^2 + \cdots + 20 \cdot R^n$$

Anta at $R = 1{,}7$ i denne byen.

b)

Hvor mange personer vil det være som har eller har hatt covid-19 i denne byen i løpet av de 8 første ukene?

Det tar 8 uker før myndighetene i byen rekker å sette inn tiltak.

c)

Hva må R-tallet være etter at tiltakene er satt inn, for at det totale antallet som har hatt eller får covid-19-smitte i denne byen, ikke skal overstige 10 000?