CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U (x)$ gram CO₂ per kilometer, der $U (x)$ er gitt ved

U (x) = \frac{5400}{x} + 0,0074 x^{2} + 50, 30 < x < 110

Kalkulator

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50 k m / h$ ?

Krever PC

Hvilken fart gir minst utslipp av CO₂ per kilometer?
Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?

Fru Hansen kjører med en fart på $90 k m / h$ i $20$ minutter.

Kalkulator

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut i løpet av disse $20$ minuttene?

Fasit

$U (50) = 176,5 g / k m$

Minst utslipp ved fart $x \approx 71,5 k m / h$ , utslipp $U (71,5) \approx 163,4 g / k m$

$\approx 5098 g \approx 5,1 kg$

LøsningsforslagKI-generert

Nedenfor vises grafen til $U (x)$ med de tre aktuelle punktene markert. Grafen er laget med Python og matplotlib:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(30, 110, 500)
U = 5400/x + 0.0074*x**2 + 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5.5))
ax.plot(x, U, color='steelblue', linewidth=2.2)

# Markerte punkter
ax.plot(50, 176.5, 'o', color='seagreen', markersize=9)   # a)
ax.plot(71.46, 163.36, 'o', color='tomato', markersize=9)  # b) minimum
ax.plot(90, 169.94, 'o', color='orange', markersize=9)     # c)

ax.set_xlabel('Fart x (km/h)')
ax.set_ylabel('CO2-utslipp U(x) (g/km)')
plt.savefig('1t-v26-2-1.png', dpi=150)

Graf av U

Vi setter inn $x = 50$ i uttrykket for $U (x)$ :

U (50) = \frac{5400}{50} + 0,0074 \cdot 50^{2} + 50

= 108 + 0,0074 \cdot 2500 + 50

= 108 + 18,5 + 50

= 176,5 g / k m

Bilen slipper ut $176,5$ gram CO₂ per kilometer ved $50 k m / h$ .

Vi finner minimum ved å derivere $U (x)$ og sette den deriverte lik null.

U (x) = 5400 \cdot x^{- 1} + 0,0074 x^{2} + 50

U^{'} (x) = - \frac{5400}{x^{2}} + 0,0148 x

Vi setter $U^{'} (x) = 0$ :

- \frac{5400}{x^{2}} + 0,0148 x = 0

0,0148 x = \frac{5400}{x^{2}}

0,0148 x^{3} = 5400

x^{3} = \frac{5400}{0,0148} \approx 364865

x = \sqrt[3]{364865} \approx 71,5

Fra grafen ser vi at $U (x)$ har et bunnpunkt (minimum) ved $x \approx 71,5$ , som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

U (71,5) = \frac{5400}{71,5} + 0,0074 \cdot {71,5}^{2} + 50 \approx 75,5 + 37,8 + 50 = 163,4 g / k m

Minst utslipp per kilometer er $163,4 g / k m$ , og oppnås ved fart $\approx 71,5 k m / h$ .

Vi setter inn $x = 90$ og finner utslippet per kilometer:

U (90) = \frac{5400}{90} + 0,0074 \cdot 90^{2} + 50

= 60 + 0,0074 \cdot 8100 + 50

= 60 + 59,94 + 50

= 169,94 g / k m

Fru Hansen kjører i $20$ minutter med fart $90 k m / h$ . Vi finner strekningen:

s = v \cdot t = 90 k m / h \cdot \frac{20}{60} h = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30 km

Totalt CO₂-utslipp over de $30 km$ :

Utslipp = U (90) \cdot s = 169,94 g / k m \cdot 30 km \approx 5098 g \approx 5,1 kg

Bilen slipper ut omtrent $5098$ gram ( $5,1 kg$ ) CO₂ i løpet av disse $20$ minuttene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for hvert riktig svar som er gjort rede for.

En «prøve-og-feile»-metode kan gi full uttelling dersom kandidaten viser en systematisk tilnærming.

For å få 1 poeng, må kandidaten komme fram til en kjørelengde på 30 km.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2026, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Funksjoner, Modellering, Optimering, Måleenheter
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer