Karbontetraklorid (${\text{CCl}}_4$) er et skadelig stoff som brytes sakte ned i kroppen og delvis lagres i fettvev. Så lenge konsentrasjonen av ${\text{CCl}}_4$ i kroppen er under 10 enheter, klarer leveren å skille ut stoffet som normalt. Når konsentrasjonen overstiger 10 enheter, begynner ammoniakk å hope seg opp i blodet, og det blir potensielt farlig.

Sofie skal bo nær et gammelt industriområde der det har foregått ulovlig dumping av kjemikalier. Hver natt kommer hun til å puste inn ${\text{CCl}}_4$ som fordamper fra grunnen og kommer inn på soverommet hennes gjennom ventilasjon og sprekker i kjelleren.

Sofie utsettes for 2 enheter ${\text{CCl}}_4$ per natt. Vi regner med at kroppen hennes klarer å skille ut 18 % av total mengde i kroppen i løpet av en dag.

Anta at Sofie kun skiller ut ${\text{CCl}}_4$ når hun ikke blir utsatt for stoffet, og at hun bare blir utsatt for ${\text{CCl}}_4$ om natten.

a) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Regn ut hvor mange netter Sofie kan sove på soverommet sitt før konsentrasjonen av ${\text{CCl}}_4$ i kroppen hennes kommer opp på et potensielt farlig nivå.

Sofie leser en artikkel om ${\text{CCl}}_4$ der det blir påstått at en voksen person aldri vil ha mer enn 10 enheter av stoffet i kroppen dersom personen utsettes for 2 enheter ${\text{CCl}}_4$ per natt.

b) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Regn ut hvor mange prosent av mengden ${\text{CCl}}_4$ artikkelen antar at en voksen person skiller ut fra kroppen per dag.

Fasit

a)

11 netter

b)

20 %

Løsningsforslag

a)

La $c_n$ være konsentrasjonen rett etter den $n$-te natten. Kroppen skiller ut 18 % per dag, så 82 % gjenstår. Hvert døgn tilføres 2 nye enheter:

$$c_n=2+2\cdot \mathrm{0,82}+2\cdot {\mathrm{0,82}}^2+\dots +2\cdot {\mathrm{0,82}}^{n-1}$$

Dette er en geometrisk rekke med første ledd $a_1=2$ og kvotient $k=\mathrm{0,82}$, som gir sumformelen

$$c(n)=2\cdot \frac{1-{\mathrm{0,82}}^n}{1-\mathrm{0,82}}$$

Vi definerer $c(n)$, løser $c(n)=10$ og kontrollerer $c(11)$ og $c(12)$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $n\approx \mathrm{11,6}$, og vi ser at $c(11)\approx \mathrm{9,86}<10$ mens $c(12)\approx \mathrm{10,08}>10$.

Sofie kan sove $\underline{\underline{11\text{ netter}}}$ på soverommet sitt før konsentrasjonen når et potensielt farlig nivå.

b)

Grenseverdien til $c_n$ når $n\to \infty$ er ${\displaystyle \frac{2}{1-k}}$ der $k$ er andelen som gjenstår etter utskillelse. For at konsentrasjonen aldri skal overstige 10 enheter, må grenseverdien være $\le 10$:

$$\frac{2}{1-k}=10$$

Vi løser for $k$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $k={\displaystyle \frac{4}{5}}$, og utskillelsesprosenten er $1-k={\displaystyle \frac{1}{5}}=20\%$.

Artikkelen antar at kroppen skiller ut $\underline{\underline{20\%}}$ av ${\text{CCl}}_4$-mengden per dag.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

a)2p2 poeng

Riktig metode, men feil svar kan gi 1 poeng.

b)2p2 poeng

Kandidater som har riktig strategi, men feil svar kan få 1 poeng.