Vi vil vise ved induksjon at $S_n=1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$ for alle $n\ge 1$.

Grunnlag ($n=1$): $S_1=1=1^2$. Påstanden stemmer for $n=1$.

Induksjonsantagelse: Anta at $S_k=k^2$ for en vilkårlig $k\ge 1$.

Induksjonssteg: Vi skal vise at da er $S_{k+1}={(k+1)}^2$. Det $(k+1)$-te oddetallet er $2(k+1)-1=2k+1$, så

Ved induksjonsantagelsen er $S_k=k^2$, altså

Påstanden stemmer altså for $k+1$ dersom den stemmer for $k$. Siden den stemmer for $n=1$, stemmer den for alle $n\ge 1$ ved induksjonsprinsippet. Dermed er $\underline{\underline{S_n=n^2}}$.

Telleren i $B_n$ er summen av de $n$ første oddetallene, altså $S_n$. Nevneren er summen av de $n$ neste oddetallene, det vil si oddetall nummer $n+1$ til og med $2n$. Dette er summen av de $2n$ første oddetallene, minus summen av de $n$ første:

Dermed er

Vi bruker $S_n=n^2$ fra b):

Dette stemmer med resultatene fra a), som viser at $B_n=\frac{1}{3}$ uansett hvilken $n$ vi velger.