Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du vise at $\lim_{v \to 0^{+}} \frac{\sin v}{v} = 1$ .

I figuren nedenfor er $A B = A D = 1$ , og buen $B D$ er del av en sirkel med sentrum i $A$ . Vi lar $∠ B A C = v$ (målt i radianer).

Figur til grenseverdibevis

Bruk arealbetraktninger til å begrunne at

\frac{1}{2} \sin v < \frac{1}{2} v < \frac{1}{2} \tan v

Forklar at dette gir oss

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}

Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at $\lim_{v \to 0^{+}} \frac{\sin v}{v} = 1$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på tre figurer som alle befinner seg innenfor sirkelen med sentrum $A$ og radius $1$ , og sammenligner arealene.

Trekant $A B D$ . $D C$ er høyden fra $D$ ned til grunnlinjen $A B$ . Siden $A D = 1$ og $∠ D A B = v$ , er $| D C | = \sin v$ . Grunnlinjen $| A B | = 1$ , og arealet er

T_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin v = \frac{1}{2} \sin v .

Sirkelsektor $A B D$ . En sektor med radius $r = 1$ og sentralvinkel $v$ (i radianer) har areal

T_{sektor} = \frac{1}{2} r^{2} v = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot v = \frac{1}{2} v .

Trekant $A B E$ . La $E$ være punktet på linjen gjennom $A$ og $C$ slik at $B E ⟂ A B$ . Da $A B = 1$ og $∠ B A E = v$ , gir tangens at $| B E | = \tan v$ . Arealet er

T_{△ A B E} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan v = \frac{1}{2} \tan v .

Innklusjonen av figurene. Trekant $A B D$ er en delfigur av sektoren (alle punkter i trekanten ligger innenfor sektoren), og sektoren er en delfigur av trekant $A B E$ (buen $B D$ er kortere enn siden $B E$ ). Derfor gjelder:

\frac{1}{2} \sin v < \frac{1}{2} v < \frac{1}{2} \tan v . ■

Vi starter fra ulikheten i a:

\frac{1}{2} \sin v < \frac{1}{2} v < \frac{1}{2} \tan v .

For $0 < v < \frac{π}{2}$ er $\sin v > 0$ , så vi kan dele alle ledd med $\frac{1}{2} \sin v$ (positivt, ulikhetstegnene bevares):

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{\tan v}{\sin v} .

Vi forenkler høyre side:

\frac{\tan v}{\sin v} = \frac{\frac{\sin v}{\cos v}}{\sin v} = \frac{1}{\cos v} .

Dermed:

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v} . ■

Fra b har vi for $0 < v < \frac{π}{2}$ :

1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v} .

Vi tar grenseverdien når $v \to 0^{+}$ i ytterleddet:

\lim_{v \to 0^{+}} 1 = 1 og \lim_{v \to 0^{+}} \frac{1}{\cos v} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1.

Begge yttergrensene er $1$ , og $\frac{v}{\sin v}$ er klemt mellom dem. Av skviseteoremet (sandwich-teoremet) følger det at

\lim_{v \to 0^{+}} \frac{v}{\sin v} = 1.

Siden $\frac{v}{\sin v} \neq 0$ i en omegn av $0$ , kan vi ta den gjensidige verdien:

\lim_{v \to 0^{+}} \frac{\sin v}{v} = \frac{1}{1} = 1 . ■

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten kommunisere noe om arealene til de to trekantene og sirkelsektoren og relasjonen mellom disse.

I en fullgod besvarelse kommenteres det at det er lov å multiplisere med for eksempel $\frac{2}{\sin v}$ i ulikhetene når $0 < v < π$ . Dersom kandidaten ikke kommenterer at ulikhetene kun gjelder for disse verdiene av $v$ , kan kandidaten få 1 poeng.

Det er nok å argumentere med at $\frac{1}{\cos v} \to 1$ når $v \to 0^{+}$ og at da må også $\frac{v}{\sin v} \to 1$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Grenseverdi, Trigonometri, Bevis
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

Lov på eksamen

Temaer