Bestemt integral og areal

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = - x^{3} + 3 x

Regn ut integralet

\int_{- 1}^{0} f (x) d x

Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 1$ og $x = 1$

Fasit

$- \frac{5}{4}$

$\frac{5}{2}$

Løsningsforslag

\begin{matrix} \int_{- 1}^{0} (- x^{3} + 3 x) d x \\ {[- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} \\ 0 - (- \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + \frac{3}{2} {(- 1)}^{2}) \\ - (- \frac{1}{4} + \frac{3}{2}) & = - \frac{5}{4} \end{matrix}

Integralet er $- \frac{5}{4}$ .

Jeg finner først nullpunktene ved å faktorisere uttrykket.

f (x) = - x^{3} + 3 x = - x (x^{2} - 3) = - x (x^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}) = - x (x + \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})

Vi har nullpunkter når $f (x) = 0$ . Det vil si at vi har nullpunkter når $x = - \sqrt{3}, x = 0, x = \sqrt{3}$ . Det er kun nullpunktet $x = 0$ som ligger mellom $x = - 1$ og $x = 1$ .

For å finne ut om funksjonen er positiv eller negativ i intervallene så sjekker jeg funksjonsverdien i $x = - 1$ og $x = 1$ .

f (- 1) = - {(- 1)}^{3} + 3 (- 1) = 1 - 3 = - 2

f (1) = - {(1)}^{3} + 3 \cdot 1 = - 1 + 3 = 2

Alternativ måte å sjekke hvor funksjonen er positiv og negativ

Siden integralet $\int_{- 1}^{0} f (x) d < 0$ og det ikke finnes noen nullpunkter for $x \in ⟨ - 1, 0 ⟩$ , så må $f$ være negativ når $x \in ⟨ - 1, 0 ⟩$

$f$ er altså negativ i intervallet $[- 1, 0 ⟩$ og positiv i intervallet $⟨ 0, 1]$ . Vi finner arealet ved å ta integralene av hver del (og husker minustegn foran integralet til området som ligger under $x$ -aksen).

\begin{matrix} A & = - \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x \\ A & = - (- \frac{5}{4}) + {[- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1} \\ A & = \frac{5}{4} + - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \end{matrix}

Arealet av området er $\frac{5}{2}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for riktig integrasjon og 1 poeng for å regne ut verdien av integralet.

Kandidater som argumenterer med symmetri, kan få full uttelling. Areal lik 0 gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Areal under graf, Bestemt integral
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Bestemt integral og areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bestemt integral og areal

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bestemt integral og areal

Bestemt integral og areal

Lov på eksamen

Temaer