Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje går gjennom punktene $A (0, R)$ og $B (h, r)$ . Se figur 1. En rett, avkortet kjegle framkommer ved å rotere linjestykket $A B$ 360° om $x$ -aksen. Se figur 2.

Figur 1 og 2: Linjestykke og avkortet kjegle

For hånd

Vis at linjen gjennom $A$ og $B$ har likningen $y = \frac{r - R}{h} \cdot x + R$

For hånd

Bruk CAS til å vise at volumet $V$ av den rett avkortede kjegle er

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

For hånd

Forklar kort hvilket omdreiingslegeme vi får dersom $r = 0$ og dersom $r = R$ .

Fasit

$y = \frac{r - R}{h} \cdot x + R$

$V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$

$r = 0 \Rightarrow kjegle, r = R \Rightarrow sylinder$

LøsningsforslagKI-generert

Linjen går gjennom punktene $A (0, R)$ og $B (h, r)$ . Stigningstallet blir

m = \frac{r - R}{h - 0} = \frac{r - R}{h}

Ettersom linjen skjærer $y$ -aksen i $A (0, R)$ , er $R$ konstantleddet i likningen. Dermed er linjens likning

y = \frac{r - R}{h} \cdot x + R

Når linjestykket $A B$ roteres $360 °$ om $x$ -aksen, dannes en avkortet kjegle. Volumet av et omdreiingslegeme om $x$ -aksen fra $x = 0$ til $x = h$ er gitt ved

V = \int_{0}^{h} π \cdot {[f (x)]}^{2} d x, f (x) = \frac{r - R}{h} \cdot x + R

Vi setter opp integralet i CAS og lar GeoGebra regne det ut.

Avkortet kjegle volum ved CAS

CAS gir

V = \frac{1}{3} (h r^{2} π + R^{2} h π + R h r π) = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

som er det vi skulle vise:

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

Dersom $r = 0$ , blir linjen $y = - \frac{R}{h} \cdot x + R$ , som går fra $A (0, R)$ ned til $B (h, 0)$ på $x$ -aksen. Når dette linjestykket roteres om $x$ -aksen, dannes en hel kjegle med grunnflateradius $R$ og høyde $h$ . Sjekk mot formelen:

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R \cdot 0 + 0^{2}) = \frac{π h}{3} R^{2}

som er den velkjente volumformelen for en kjegle.

Dersom $r = R$ , blir linjen $y = R$ , altså en horisontal linje. Når denne roteres om $x$ -aksen, dannes en sylinder med radius $R$ og høyde $h$ . Sjekk mot formelen:

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R \cdot R + R^{2}) = \frac{π h}{3} \cdot 3 R^{2} = π R^{2} h

som er volumformelen for en sylinder.

r = 0 \Rightarrow kjegle, r = R \Rightarrow sylinder

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Volum, CAS, Integrasjon

Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer