Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut

1 + 5 + 9 + \dots + 157

En geometrisk rekke er gitt ved $a_{3} = 1$ og $a_{6} = \frac{1}{27}$ .

Avgjør om den uendelige rekken $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ konvergerer. Bestem eventuelt summen av rekken.

Fasit

$s = 3160$

Rekken konvergerer, $s = \frac{27}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $1 + 5 + 9 + \dots + 157$ er aritmetisk med $a_{1} = 1$ og $d = 4$ . Vi finner først hvor mange ledd $n$ rekken har ved å bruke formelen $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ .

157 = 1 + (n - 1) \cdot 4 \Rightarrow n = 40

Summen av rekken blir da

s_{40} = \frac{a_{1} + a_{40}}{2} \cdot n = \frac{1 + 157}{2} \cdot 40 = 3160

Rekken er geometrisk med $a_{3} = 1$ og $a_{6} = \frac{1}{27}$ . Siden $a_{6} = a_{3} \cdot k^{3}$ , får vi

k^{3} = \frac{a_{6}}{a_{3}} = \frac{1}{27} \Rightarrow k = \frac{1}{3}

Siden $| k | = \frac{1}{3} < 1$ , konvergerer den uendelige rekken. Vi finner $a_{1}$ ved $a_{3} = a_{1} \cdot k^{2}$ .

1 = a_{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} \Rightarrow a_{1} = 9

Summen av den uendelige rekken er

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{27}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Lov på eksamen

Temaer